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Análise Combinatória – Introdução. Revisão para Matemática Enem. Confira.

Que tal revisar sobre Análise Combinatória? Aproveite mais esta aula e fique preparado para a prova de Matemática Enem. Estude com a gente para o Exame!

Revisão de Matemática Enem – Introdução à Análise Combinatória. Confira abaixo.

Princípio Fundamental da Contagem

“Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras diferentes e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneiras diferentes, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é dado pelo produto x ⋅ y.”

Problema 1

Você precisa ir de Santa Maria a Belem, necessariamente passando por Goiânia. De Santa Maria a Goiânia você pode ir de avião ou carro; de Goiânia a Belém, você pode ir de Helicóptero, moto ou ônibus. De quantos modos diferentes você pode fazer o trajeto Santa Maria-Belém, sempre usando um desses meios de transporte e passando por Goiânia?

Resolução do Problema 1 – Acompanhe para aprender a não esquecer

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Dividimos o problema em duas etapas:

  • Santa Maria-Goiânia, que pode ser feito de 2 modos diferentes.
  • Goiânia-Belém, que pode ser feito de 3 modos diferentes.

Assim, o número de maneiras de efetuar o trajeto Santa Maria-Belém é o produto das possibilidades de cada etapa: 2 ⋅ 3 = 6

Uma das preocupações da Análise Combinatória é com a criação de agrupamentos. Agrupamos as letras do alfabeto para formarmos senhas ou placas de automóveis. Agrupamos pessoas em comissões. Cartas de um baralho são agrupadas de 9 em 9. Peças de um dominó são agrupadas de 7 em 7.

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Agrupamentos

Arranjo Simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1, a2, a3, …, an} . . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer sequência formada por P elementos distintos de E.”

Símbolo: An . P ou APn.

Fórmula: 6451.png

Combinação Simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer subconjunto de E formada por P elementos.”

Símbolo: Cn . P ou CPn

Fórmula: 6431.png

Obs: Veja que a diferença entre Arranjo e Combinação está na ordem dos elementos. Na combinação, um grupo se diferencia do outro apenas pela natureza dos seus elementos, enquanto que no arranjo os grupos se diferenciam pela natureza e pela ordem.

Problema 2

Considere o conjunto V = {a,e,i,o,u},

a) quantas senhas de 3 letras distintas podemos formar?

b) quantos subconjuntos de 3 elementos distintos podemos formar?

Resolução:

a) A senha aei é diferente de iea, isto é, a mudança de ordem cria um novo grupo. Desse modo estamos diante de um problema de Arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3.

matemática enem

b) O subconjunto {a,e,i} é o mesmo que {i,e,a}. Já o subconjunto {a,e,u} é diferente de {a,e,i}, porque mudou a natureza de seus elementos. Portanto, esse é um problema de combinação de 5 elementos tomados 3 a 3.

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Veja a aula 2 de Análise Combinatória para você gabaritar no Enem

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Complete a sua revisão com a Aula 2 de Análise Combinatória

Exercícios de aplicação sobre Análise Combinatória:

Exercício 01

(Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) duas combinações.

e) dois arranjos.

Exercício 02

(Enem 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.

Grupos taxonômicos

Número de espécies

Artiodáctilos

4

Carnívoros

18

Cetáceos

2

Quirópteros

103

Lagomorfos

1

Marsupiais

16

Perissodáctilos

1

Primatas

20

Roedores

33

Sirênios

1

Edentados

10

Total

209

T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores.

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a

a) 1.320.

b) 2.090.

c) 5.845.

d) 6.600

e) 7.245.

Exercício 03

(Enem 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por

figura_04.jpg

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é

a) 12

b) 31

c) 36

d) 63

e) 720

Exercício 04

(Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

figura_05.jpg

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é

a) 6.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

e) 10.

Saiba mais sobre Análise Combinatória nesta aula do canal Aulalivre.net, disponível no Youtube. Após assistir, revise o que você aprendeu respondendo aos nossos desafios!

Desafios

Questão 01

Com as letras A, B, C, D, E, F quantas senhas:

a) de 3 letras podemos formar?

b) de três letras distintas podemos formar?

Dica 1 – Relembre sobre Progressão Geométrica em mais esta aula de revisão para a prova de Matemática Enem. Estude com a gente para o Exame Nacional do Ensino Médio! – https://blogdoenem.com.br/progressao-geometrica-matematica-enem/

Questão 02

(UERJ) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho.

figura_06.jpg

Engrenagens da coroa

Número de dentes

49

39

27

Engrenagens do pinhão

Número de dentes

14

16

18

20

22

24

Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.

Um dente da 1a engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1 a ou à 2 a engrenagem do pinhão.

Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

Dica 2 – Tire todas as suas dúvidas nesses exercícios aplicados que preparamos para você. Revise sobre Porcentagem e Juros em mais esta aula de Matemática Enem – https://blogdoenem.com.br/porcentagem-e-juros-exercicios-aplicados-matematica-enem/

Questão 03

(FATEC) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine?

a) 144

b) 132

c) 120

d) 72

e) 20

Dica 3 – Lembra tudo sobre Regra de Três Simples e Composta? Aproveite esta revisão com exercícios resolvidos e garanta a sua nota na prova de Matemática Enem! – https://blogdoenem.com.br/regra-de-tres-simples-composta-exercicios-matematica-enem/

Questão 04

(UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007.

Um desses grupos está apresentado a seguir.

figura_07.jpg

Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente.

Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:

a) 24

b) 35

c) 70

d) 140

Questão 05

(FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto.

Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.

Quantas comissões podem ser formadas?

a) 71

b) 75

c) 80

d) 83

e) 87

 Você consegue resolver estes exercícios? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!

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