Análise Combinatória simples e com repetição de elementos

• Numa sala existem 3 garotas (Adriana, Beatriz e Cleide) e 2 rapazes (Rodrigo e Sandro). Quantos casais diferentes podemos formar com essas 5 pessoas?
•  Resolução: –  Para formarmos um casal precisamos agrupar 1 homem e 1 mulher, isto é, precisamos tomar uma decisão d1 que consiste na escolha de um homem e tomar uma decisão d2, que consiste na escolha de uma mulher.
• • A decisão d1 pode ser tomada de 2 maneiras diferentes (existem 2 homens);
  • A decisão d2 pode ser tomada de 3 maneiras diferentes (existem 3 mulheres).
• Logo, o número total de casais é 2.3 = 6.

Definição de Fatorial: Seja n um número natural maior que 1. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 até n, isto é: n! = n.(n – 1) . (n – 2) . … .3.2.1  ondeObservação importante sobre Fatorial: convencionou-se que 0! = 1 e que  1! = 1

Exemplos para você relembrar Fatorial:

• Exemplo A – Veja o ‘Cinco Fatorial’
• 5! = 5.4.3.2.1
• Exemplo B – Veja o ‘Oito Fatorial’
• 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1

 

Esse conceito de fatorial aparece em várias fórmulas na análise combinatória, como as apresentadas a seguir.

Agrupamentos por Arranjo simples

• Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer sequência formada por P elementos distintos de E.”
• Símbolo: An . P ou APn.
• Fórmula:
• 

 

Combinação simples

• Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer subconjunto de E formada por P elementos.”
• Símbolo: Cn . P ou CPn.
• Fórmula:
• 

 

Obs.: Veja que a diferença entre arranjo e combinação está na ordem dos elementos. Como arranjo é uma sequência, a mudança de ordem gera um novo grupo, enquanto na combinação isto não ocorre.

Considere o seguinte exemplo

• Com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5,6},
• a) Quantas senhas de 3 algarismos distintos podemos formar?
• b) Quantos subconjuntos de 3 elementos distintos podemos formar?

Veja a Resolução:

a) Veja que a senha 123 é diferente de 321. Neste caso, como a variação da ordem gera uma nova senha, cada um desses grupos é considerado um arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3. O total é dado por

 

b) O subconjunto {1,2,3} é o mesmo que {3,2,1}. Neste caso, como a variação da ordem dos elementos não gera um novo agrupamento, estamos diante de um problema de combinação. O total de subconjuntos é dado por

Aprenda Permutação simples

Este é um conceito muito simples, pois permutação é um caso particular de arranjo. Além disso, o termo permutação é bastante sugestivo e, neste sentido, o que irá ser feito é, essencialmente, permutar as posições de elementos de um conjunto dado.

• Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a1,a2, a3, …, an} . Chamamos de permutação simples dos n elementos de E a qualquer sequência formada pelos n elementos distintos de E.”
• Símbolo: Pn.
• Fórmula: Pn = n!

 

Veja neste exemplo bem simples: – Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

Acompanhe a Resolução: > Anagramas da palavra amor são todas as palavras, com ou sem significado, que criamos usando todas as letras da palavra dada. Alguns deles são ROMA, ROAM, MORA, AMOR, MROA, etc.

A Resposta: Veja que estamos simplesmente permutando todas as 4 letras. Assim, o total de anagramas é dado por P4 = 4! = 24

Novo Desafio: > E se a palavra fosse BATATA?

Neste caso tem-se uma Permutação com Repetição, e a fórmula é esta: (n objetos, onde um deles se repete á vezes, outro às vezes, e assim por diante).

Calculando então o total de anagramas da palavra BATATA, temos 6 letras, com A repetindo 3 vezes e T duas vezes.

 

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Exercícios de aplicação – Análise Combinatória

Desafio 01

Com os números do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} quantas senhas

a) de 3 letras podemos formar?

b) de 3 letras distintas podemos formar?

Exercício 02

Com as letras A, B, C, D, E quantas senhas de 3 letras distintas podemos formar?

Exercício 03

Com as frutas A, B, C, D, E quantas vitaminas de 3 frutas podemos formar?

Exercício 04

Quantos anagramas da palavra SONHAR começam e terminam por vogal?

Exercício 05

(ENEM, 2ª aplicação, 2010) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

Museus nacionais	Museus internacionais
Masp – São Paulo	Louvre – Paris
MAM – São Paulo	Prado – Madri
Ipiranga – São Paulo	British Museum – Londres
Imperial – Petrópolis	Metropolitan – Nova York

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?

a) 6

b) 8

c) 20

d) 24

e) 36

 

Desafios

Questão 01

(ENEM, 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

a) Uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) Um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) Um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) Duas combinações.

e) Dois arranjos.

Questão 02

(ENEM, 2004) No Nordeste brasileiro é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

Questão 03

(ENEM, 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por:

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é:

a) 12

b) 31

c) 36

d) 63

e) 720

Questão 04

(ENEM, 2007) Estima-se que haja no Acre 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir:

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo cetáceos, outra do grupo primatas e a terceira do grupo roedores.

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:

a) 1.320

b) 2.090

c) 5.845

d) 6.600

e) 7.245

Questão 05

(ENEM, 2011) O setor de Recursos Humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e em nenhum deles apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é

a) 24

b) 31

c) 32

d) 88

e) 89