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para o ENEM

Triângulos: Definições e Propriedades

Você sabe a diferença entre um triângulo equilátero e um triângulo escaleno? Então, aproveite para saber tudo sobre Triângulos nesta aula de Matemática vestibular e Enem. Veja abaixo.

Triângulos: Definição, Propriedades Gerais e Classificação. Confira nesta revisão de matemática para o Enem e o vestibular.

Como você já sabe, o triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de retas. Serão estudados nesta aula os elementos geométricos que compõem essa figura bem como as propriedades pertinentes a esses elementos.

Lembre-se: conceitos de área e perímetro já foram abordados na aula anterior.

Definição

Triângulo é uma figura plana, formada por três segmentos de reta delimitando uma região fechada.

Na figura identificam-se os seguintes elementos:

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1) Vértices: são os pontos A, B e C

2) Ângulos internos: a, b e c

3) Lados: AB, AC e BC

Altura: é um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto (90º). BH é uma altura do triângulo.

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Ângulo externo: é formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente.

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Na figura são ângulos externos os ângulos D, E, F.

1) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180º.

2) A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é sempre igual a 360º.

3) Cada ângulo externo é igual à soma dos outros dois internos não adjacentes a ele.

4) O maior lado do triângulo está sempre oposto ao maior ângulo desse triângulo.

Lembrando que:

Perímetro = soma dos lados = AB + AC + BC

Dica 1 – Pronto para gabaritar na prova de Matemática Enem? Relembre sobre definição e aplicações das Figuras Planas aqui em mais esta aula de revisão.

Classificação dos Triângulos

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

• Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo equilátero é também equiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.

• Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Neste triângulo o ângulo formado pelos lados congruentes denomina-se ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.

• Em um triângulo escaleno as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Observações:

1) Denomina-se base o lado sobre qual apoia-se o triângulo.

2) No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente e sobre ele estarão localizados os ângulos congruentes (iguais) do triângulo.

Dica 2 – Sabe tudo sobre Análise Combinatória, Fatorial e Agrupamentos? Revise com esta aula preparatória de Analise Combinatória aqui. Vale para a prova de Matemática Enem.

Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes.

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Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que todos os seus ângulos internos medem 60° e por isso ele é equiângulo.

Triângulo isósceles

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Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida b. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida α com a base do triângulo.

Triângulo escaleno

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Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Observe ainda que todos os seus ângulos internos são diferentes entre si.

Dica 3 – O Exame Nacional do Ensino Médio está chegando! Relembre tudo sobre Progressão Geométrica aqui nesta aula de revisão para a prova de Matemática Enem.

Classificação dos triângulos de acordo com seus ângulos internos

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

• Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados denominam-se catetos.

• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

• Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

Triângulo retângulo

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Um ângulo reto (90º)

Triângulo obtusângulo

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Um ângulo obtuso (> 90º) e dois ângulos agudos.

Triângulo acutângulo

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Todos os três ângulos são agudos (< 90º).

Para você pensar um pouco:

1) Existe triângulo retângulo isósceles?

Sim ( ) Não ( )

2) Existe triângulo retângulo equilátero?

Sim ( ) Não ( )

3) Existe triângulo retângulo escaleno?

Sim ( ) Não ( )

4) Todo triângulo equilátero é isósceles?

Sim ( ) Não ( )

Saiba mais sobre Classificação e Propriedades dos Triângulos nesta aula do canal Portal da Matemática, disponível no Youtube. Após assistir, revise o que você aprendeu respondendo aos nossos desafios!

 

Desafios para você responder e compartilhar.

Questão 1

Determinar o valor de x + y na figura abaixo sabendo que os ângulos A e B são congruentes:

img_10_aula2.jpg

a) 30

b) 31

c) 34

d) 35

e) 40

Questão 2

Bissetriz é a linha que divide um ângulo em duas partes iguais. O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e ângulo P = 60°. A medida do ângulo agudo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é:

a) 20°

b) 30°

c) 40°

d) 50°

e) 60°

Questão 3

Um triângulo isósceles tem um dos ângulos internos iguais a 100°. Qual é o valor do menor ângulo deste triângulo?

a) 20º

b) 30º

c) 40º

d) 45º

e) 50º

Questão 4

Se na figura ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero, obtenha o valor de x:

img_11_aula2.jpg

b) 75º

c) 80º

d) 85º

e) 90º

Questão 5

Na figura abaixo temos que AB = BD = CD. Então:

img_12_aula2.jpga) y = 3x

b) y = 2x

c) y = x

d) x + y = 180°

e) 3x = 2y

Questão 6

Considere um triângulo equilátero de lado ℓ como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro triângulos é igual a:

img_13_aula2.jpg

Questão 7

Na figura a seguir AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede:

img_14_aula2.jpg

a) 40°

b) 50°

c) 60°

d) 70°

e) 90°

Você consegue resolver estes exercícios? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!