Triângulo Retângulo: Cálculo de Área, Ângulos e o Teorema de Pitágoras

Sabe tudo sobre o Triângulo Retângulo e o Teorema de Pitágoras? Sempre é hora de lembrar que "A soma do quadrado dos Catetos é igual ao quadrado da Hipotenusa" e outras Propriedades do Triângulo Retângulo. Aproveite este resumo para aprender o básico deste conteúdo e garantir uma boa nota nas provas de Matemática Enem, Encceja ou Vestibular.

Por definição, um Triângulo RETÂNGULO é aquele que possui um ângulo reto (igual a 90º), e dois outros ângulos agudos. A soma dos ângulos internos do Triângulo Retângulo é de 180 graus, o que corresponde a um ângulo raso.

Os lados do Triângulo Retângulo: Os lados que formam o ângulo reto são denominados de catetos. O lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. Veja na imagem:

triângulo retânguloO Triângulo retângulo no universo da matemática é uma das figuras geométricas mais utilizadas para solucionar cálculos de volume e de área.

Os cálculos algébricos envolvendo o Triângulo Retângulo partem de propriedades que nos permitem saber que calcular as medidas dos demais lados e ângulos se você tiver os dados (medidas) de dois lados e mais a medida de um dos ângulos agudos.

Você precisa entender o triângulo para poder avançar nos cálculos de trigonometria.

Na solução dos problemas sobre o triângulo retângulo, aplicaremos um conjunto de fórmulas denominadas relações métricas. Em outra oportunidade, veremos a existência de outro grupo de fórmulas denominadas relações trigonométricas. As Relações métricas: são fórmulas que relacionam as medidas dos lados do triângulo e suas projeções entre si. Para isso vamos representar o triângulo retângulo apoiado sobre a hipotenusa.Triângulo Retângulo

Nessa representação  que você viu acima temos:

  1.  Hipotenusa = a
  2.  Catetos = b e c
  3.  Altura relativa à hipotenusa = h
  4.  Projeções dos catetos sobre a hipotenusa = m e n

Relações métricas e o Teorema de Pitágoras

1) Teorema de Pitágoras: hip 2 = cat 2 + cat 2  Ou, traduzindo em palavras a representação da fórmula: a soma do quadrado dos catetos é igual ao cateto da hipotenusa. Agora, feche os olhos e tente fazer uma representação mental do Teorema de Pitágoras atuando nos cálculos de um Triângulo Retângulo.  Teorema de PitágorasVeja agora uma demonstração do Teorema de Pitágoras com a visualização da área gerada pelo Quadrado da Hipotenusa e pelo Quadrado de cada um dos Catetos.

Observe na demonstração gráfica do Teorema de Pitágoras na imagem abaixo que se você ‘somar as áreas geradas pelos quadrados dos catetos’ vai encontrar exatamente a mesma ‘área gerada pelo quadrado da hipotenusa’.

Veja esta imagem a seguir com calma. Trabalhe mentalmente esta representação gráfica para compreender o Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece esta característica do Triângulo Retângulo:Teorema de pitagoras cubos

Você pode perceber rapidamente que a quantidade de “quadradinhos” dentro da área  quadrada que se forma com o lado de cada um dos catetos é a mesma quantidade de “quadradinhos” dentro da área que se forma com o quadrado formado tendo como base a Hipotenusa.  Faça a conta: 9 + 16 = 25

 

Aula Gratuita sobre o Triângulo Retângulo

Saiba mais sobre o Triângulo Retângulo nesta aula do canal Curso Enem Gratuito, disponível no Youtube. Após assistir este resumo com o professor Sérgio Sarkis veja abaixo outras propriedades  Trigonométricas e depois responda aos exercícios.

Gostou da aula? Show mesmo a explicação do professor Sérgio Sarkis. Agora, vamos continuar:

Outras relações métricas no Triângulo Retângulo:

2) Cateto x Cateto = Hipotenusa x Altura

( b x c = a x h )

3) Cateto 2 = Hipotenusa x Projeção

( b2 = a x n ) ou ( c2 = a x m )

4) Altura 2 = Projeção x Projeção

( h 2 = m x n )

Exercício resolvido para você não esquecer mais!

Exemplo Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 6 cm e AC = 8 cm, determine as medidas de BC, BH, HCe AH.img_03_aula3.jpg

  • Solução:
  • a) BC2 =AB2+ AC 2 23373.jpg 62 + 82 = 36 + 64 = 100BC = √100 = 10
  • b) AB x AC = BC x AH23375.jpg 6 x 8 = 10 x AH23377.jpg AH = 4,8
  • c) AB2 = BH x BC 23379.jpg 62 = BH x 10 23381.jpg BH = 3,6
  • d) AC2 = CH x BC 23383.jpg 82 = CH x 10 23385.jpgCH = 6,4

 

Desafios para você resolver e compartilhar a solução:

Questão 1 –  A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

img_04_aula3.jpg

a) 12;  b) 30;  c) 15;  d) 17;  e) 20

Dica 1 – Você sabe a diferença entre um triângulo equilátero e um triângulo escaleno? Então, aproveite para saber tudo sobre Triângulos nesta aula de Matemática Enem – https://blogdoenem.com.br/triangulos-definicoes-e-propriedades-gerais-matematica-enem/

 

Questão 2 – Um ciclista, partindo de um ponto A, percorre 15 km para o norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90º, percorre 20 km para o leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A?

a) 21 km;  b) 22 k;  c) 23 km;  d) 24 km;  e) 25 km

Dica 2 – Pronto para gabaritar na prova de Matemática Enem? Relembre sobre definição e aplicações das Figuras Planas em mais esta aula de revisão – https://blogdoenem.com.br/figuras-planas-definicao-e-aplicacoes-matematica-enem/

 

Questão 3 – Na figura tem-se que AB = BC e F é ponto médio do lado 23421.png do retângulo BCDE.  Determine a área do retângulo BCDE. ( lembre-se que Área retângulo = base x altura ).img_05_aula3.jpg

a)60;   b) 72;  c) 75;  d) 80;  e) 100

Dica 3 – Sabe tudo sobre Análise Combinatória, Fatorial e Agrupamentos? Revise com esta aula preparatória para a prova de Matemática Enem – https://blogdoenem.com.br/analise-combinatoria-matematica-enem/

 

Questão 4 – A prefeitura de uma cidade deseja construir um Posto de Saúde e uma Escola em um terreno retangular de lados AB = 150 m e BC = 80 m, conforme a figura abaixo:img_06_aula3.jpg

O Posto de Saúde deve ficar sobre o lado AB à uma distância de 120m do vértice B e a Escola sobre o lado CD à uma distância de 70 m do vértice D. A prefeitura planeja a construção de um acesso passando por dentro desse terreno no sentido de diminuir a distância entre a Escola e o Posto de Saúde.

Determine,entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor mais próximo da extensão desse acesso.

a) 100 m;  b) 90 m;  c) 70 m;  d) 60 m;  e) 110 m

 

Questão 5 – As raízes da equação x² – 14x + 48 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo.

a) 5,5;  b) 6;  c) 7;  d) 4,8;   e) 6,4

 Você consegue resolver estes exercícios? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!