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Triângulo Retângulo: Cálculo de Área, Ângulos e o Teorema de Pitágoras

Sabe tudo sobre Triângulo Retângulo e o Teorema de Pitágoras? Aproveite esta aula para revisar o conteúdo e garantir uma boa nota na prova de Matemática Enem.

Por definição, um Triângulo RETÂNGULO é aquele que possui um ângulo reto (igual a 90º), e dois outros ângulos agudos. A soma dos ângulos internos do Triângulo Retângulo é de 180 graus, o que corresponde a um ângulo raso. Os lados que formam o ângulo reto são denominados de catetos. O lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa. Veja na imagem:

triângulo retângulo

O Triângulo retângulo no universo da matemática é uma das figuras geométricas mais utilizadas para solucionar cálculos de volume e de área.  Os cálculos algébricos envolvendo o Triângulo Retângulo partem de propriedades que nos permitem saber que calcular as medidas dos demais lados e ângulos se você tiver os dados (medidas) de dois lados e mais a medida de um dos ângulos agudos.  Você precisa entender o triângulo para poder avançar nos cálculos de trigonometria.

Na solução dos problemas sobre o triângulo retângulo, aplicaremos um conjunto de fórmulas denominadas relações métricas. Em outra oportunidade, veremos a existência de outro grupo de fórmulas denominadas relações trigonométricas.

As Relações métricas: são fórmulas que relacionam as medidas dos lados do triângulo e suas projeções entre si. Para isso vamos representar o triângulo retângulo apoiado sobre a hipotenusa.

img_02_aula3.jpg

Nessa representação temos:

1) Hipotenusa = a

2) Catetos = b e c

3) Altura relativa à hipotenusa = h

4) Projeções dos catetos sobre a hipotenusa = m e n

Relações métricas e o Teorema de Pitágoras

1) Teorema de Pitágoras: hip 2 = cat 2 + cat 2  Ou, traduzindo em palavras a representação da fórmula: a soma do quadrado dos catetos é igual ao cateto da hipotenusa. Agora, feche os olhos e tente fazer uma representação mental do Teorema de Pitágoras atuando nos cálculos de um Triângulo Retângulo.  

Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras

Veja agora uma demonstração do Teorema de Pitágoras com a visualização da área gerada pelo Quadrado da Hipotenusa e pelo Quadrado de cada um dos Catetos. Observe na demonstração gráfica do Teorema de Pitágoras na imagem abaixo que se você ‘somar as áreas geradas pelos quadrados dos catetos’ vai encontrar exatamente a mesma ‘área gerada pelo quadrado da hipotenusa’.

Veja esta imagem a seguir com calma. Trabalhe mentalmente esta representação gráfica para comprrender o Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece:

Teorema de pitagoras cubos
Demonstração do Teorema de Pitágoras. Nunca mais você esquece.

 

Outras relações métricas no Triângulo Retângulo:

2) Cateto x Cateto = Hipotenusa x Altura

( b x c = a x h )

3) Cateto 2 = Hipotenusa x Projeção

( b2 = a x n ) ou ( c2 = a x m )

4) Altura 2 = Projeção x Projeção

( h 2 = m x n )

Veja um Exemplo para você não esquecer mais!

Exemplo Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 6 cm e AC = 8 cm, determineas medidas de BC, BH, HCe AH.

img_03_aula3.jpg

Solução:

a) BC2 =AB2+ AC 2 23373.jpg 62 + 82 = 36 + 64 = 100BC = √100 = 10

b) AB x AC = BC x AH23375.jpg 6 x 8 = 10 x AH23377.jpg AH = 4,8

c) AB2 = BH x BC 23379.jpg 62 = BH x 10 23381.jpg BH = 3,6

d) AC2 = CH x BC 23383.jpg 82 = CH x 10 23385.jpgCH = 6,4

Aula Gratuita

Saiba mais sobre Triângulo retângulo nesta aula do canal Me Salva!, disponível no Youtube. Após assistir, revise o que você aprendeu respondendo aos nossos desafios!

Desafios para você resolver

Questão 1

A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

img_04_aula3.jpg

a) 12

b) 30

c) 15

d) 17

e) 20

Dica 1 – Você sabe a diferença entre um triângulo equilátero e um triângulo escaleno? Então, aproveite para saber tudo sobre Triângulos nesta aula de Matemática Enem – https://blogdoenem.com.br/triangulos-definicoes-e-propriedades-gerais-matematica-enem/

Questão 2

Um ciclista, partindo de um ponto A, percorre 15 km para o norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90º, percorre 20 km para o leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A?

a) 21 km

b) 22 km

c) 23 km

d) 24 km

e) 25 km

Dica 2 – Pronto para gabaritar na prova de Matemática Enem? Relembre sobre definição e aplicações das Figuras Planas em mais esta aula de revisão – https://blogdoenem.com.br/figuras-planas-definicao-e-aplicacoes-matematica-enem/

Questão 3

Na figura tem-se que AB = BC e F é ponto médio do lado 23421.png do retângulo BCDE.

Determine a área do retângulo BCDE. ( lembre-se que Área retângulo = base x altura ).

img_05_aula3.jpg

a)60

b) 72

c) 75

d) 80

e) 100

Dica 3 – Sabe tudo sobre Análise Combinatória, Fatorial e Agrupamentos? Revise com esta aula preparatória para a prova de Matemática Enem – https://blogdoenem.com.br/analise-combinatoria-matematica-enem/

Questão 4

A prefeitura de uma cidade deseja construir um Posto de Saúde e uma Escola em um terreno retangular de lados AB = 150 m e BC = 80 m, conforme a figura abaixo:

img_06_aula3.jpg

O Posto de Saúde deve ficar sobre o lado AB à uma distância de 120m do vértice B e a Escola sobre o lado CD à uma distância de 70 m do vértice D. A prefeitura planeja a construção de um acesso passando por dentro desse terreno no sentido de diminuir a distância entre a Escola e o Posto de Saúde. Determine,entre as alternativas abaixo, aquela que representa o valor mais próximo da extensão desse acesso.

a) 100 m

b) 90 m

c) 70 m

d) 60 m

e) 110 m

Questão 5

As raízes da equação x² – 14x + 48 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Nessas condições, determine a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo.

a) 5,5

b) 6

c) 7

d) 4,8

e) 6,4

 Você consegue resolver estes exercícios? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!