Binômio de Newton: o que é, fórmulas, exemplos e exercícios

O Binômio de Newton é qualquer binômio elevado a um número "n" em que "n" é um número natural. Graças aos estudos do físico Isaac Newton sobre as potências de binômios, foi possível verificar regularidades que facilitam a representação do polinômio gerado a partir da potência de um binômio.

Para desenvolver o binômio de Newton é preciso entender os conceitos de coeficientes binomiais e o triângulo de Pascal. O número de termos resultantes do desenvolvimento do binômio será sempre n+1.

O que é binômio de Newton?

O binômio de Newton, desenvolvido em 1667 por Isaac Newton daí o seu nome), trata dos números binomiais em forma de coeficiente de um polinômio regular do tipo (a+b)².

No ensino fundamental, a álgebra é tratada de forma sistemática, procurando mostrar todos os conceitos e propriedades existentes. Tópicos como quadrado da soma, diferença da soma, cubo da soma e cubo da diferença são abordados de forma abrangente. Nessas situações, podemos utilizar a expressão binômio de Newton. Veja como utilizar essa operação em cada caso.

Pelos produtos notáveis, sabemos que o quadrado da soma é dado por:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Se quisermos calcular o cubo da soma representada por (a + b)², podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se quisermos calcular (a + b)4 podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b) . (a + b) = (a + b) . (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = a4 + 4ª³b + 6ª²b² + 4ab³ + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter desenvolvimento da potência (a+b) a partir de anterior, ou seja, de (a+b)n-¹.

Porém, quando o valor de n é grande, esse processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton . Para utilizar esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

Cada elemento do triângulo, a partir da 3ª linha que não seja o primeiro nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel). Observe os passos e aplicação da relação Stifel para construção do triângulo.

Propriedades do triângulo de Pascal

  1. Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

Esses binomiais são complementares.

  • Teorema das linhas: a soma dos elementos da enésima linha é 2ª
  • Teorema das colunas: a soma dos elementos de qualquer coluna do 1º do elemento até qualquer outro é igual ao elemento situado na coluna à direita  da considerada na linha imediatamente abaixo:
  • Teorema das diagonais: a soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até outro qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste:

Termo geral do binômio de Newton

Denomina-se binômio de Newton a todo binômio da forma (a+b)ª, sendo n um número natural. Por exemplo:

B = (3x -2y), onde a = 3x, b = 2y e n =4 [grau do binômio]

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  3. (a + b)4 = a4 + 4ª³b + 6ª²b² + 4ab³ + b4
  4. (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b3 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Atenção: não é necessário memorizar as formas acima, pois elas possuem uma lei de formação bem definida. Por exemplo, vamos pegar o item 4 acima.

Observe que o expoente do primeiro e os últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo.

Assim, por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima, teríamos: .5.4 = 20. Em seguida dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10, que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até o 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim, o terceiro termo é 10 a³b². Observe que o expoente a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2.

Observações

  1. o desenvolvimento do binômio (a +b) é um polinômio.
  2. O desenvolvimento de (a+b)n possui n + 1 termos.
  3. os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a+b)n são iguais
  4. A soma dos coeficientes de (a+b)n é igual a 2n

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

É denominado Numero Binomial e Cn.p o número de combinações simples n elementos agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número Combinatório.

Exercícios resolvidos

Para você entender melhor este conteúdos, veja alguns exercícios resolvidos que preparei:

1. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a+b)n, onde a = 2x, b =1 e n= 9. Como queremos o sétimo termo fazendo p= 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

T6+1 = T7= C9.6 (1)! (2X)3.1 = 9.8.7.6/3.2.1.6! 8X3= 84 8×3 = 67×3.

Portando, o sétimo termo procurado é 672×3.

2. Desenvolvendo o binômio (2x – 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 temos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

Videoaula sobre binômio de Newton

Veja abaixo uma videoaula para você aprender mais sobre binômio de Newton com o professor de matemática Sérgio Sarkis!

Exercícios sobre o binômio de Newton

Questão 1

(MACK-SP) Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de [(x2 + 1/(2x)]n estão em progressão aritmética. O valor de n é:

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
  5. 12

Questão 2

(FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x – 1/x)]6, obtém-se como termo independente de x o valor:

  1. 10
  2. -10
  3. 20
  4. -20
  5. 36

Questão 3

(UF.VIÇOSA) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:

  1. 5
  2. 6
  3. 10
  4. 3
  5. 4

Gabarito:

C, D, E