Enem 2013 e a Matemática – Múltiplos, divisores e M.M.C.

E ai galera, tudo certinho para o Enem 2013? Hoje vamos aprender, com o Professor Natã Machado, de Florianópolis, um conteúdo muito importante e super legal: múltiplos e divisores de um número. Fique com a gente.

Apesar da Matemática parecer difícil de entender, para o Enem 2013, é necessário que você saiba conteúdos tanto complexos como os mais simples – um exemplo são os múltiplos, os divisores e o Mínimo Múltiplo Comum – ou M.M.C. E como se estuda isso? Vamos lá, o Professor Natã vai te ajudar a estudar!

Todos sabemos que 20 = 4 x 5, certo? Então, podemos afirmar que 20 é um múltiplo de 4 e de 5. Mas por que? A resposta é  simples: 20 é múltiplo de 4 porque existe um número que multiplicado por 4 dá 20 como resultado, e esse número é o 5. Da mesma maneira, 10 é múltiplo de 5 porque existe um número (o número 2) tal que 5 x 2 = 10. Isso é o que chamamos de múltiplos de um número. Fácil né? Entenderam? Já podem ser múltiplo de 1000 no Enem 2013? Podemos prosseguir?

Vamos agora ao conceito de divisor para o Enem 2013. Utilizaremos o número 20 ainda como exemplo. É fácil ver que, se 20 é múltiplo de 4, então 4 é um divisor de 20, pois existe um número que multiplicado por 4 dá resultado 20. Da mesma maneira, 5 é divisor de 10 e de 20 também. Sacaram?

Vamos a uma curiosidade: todo número é múltiplo e divisor de si mesmo. Mas como assim? Vejamos o exemplo abaixo:

14 = 14  x  1

Isto é, existe um número que multiplicado por 14 que dá 14, e este número é o número 1.  Isso implica que 14 é divisor e múltiplo de si mesmo. Ok, pessoal? Como vocês se sairão no Enem 2013 quando cair esse assunto?

Existe uma classe especial de números que chamamos de números primos. A característica dos primos é que seus únicos divisores são 1 e ele próprio, ou seja, um número primo pode ser escrito apenas como multiplicação dele por 1. Por exemplo, em  7 = 7 x 1 não conseguimos apresentar 7 como outro produto (ou seja, resultado de uma multiplicação) de números naturais a não ser o produto acima.

Existem vários números primos e o único deles que é par é o 2. São eles {2,3,5,7,11,13,17,19,23,…,}.Acompanhe, agora,  a aula da Khan Academy sobre um tópico importantíssimo chamado decomposição em fatores primos.

 

Vamos dar um novo exemplo de decomposição em primos. Ache a decomposição em primos do número 90:

Enem 2013

Ou seja, 90= 2 x 3 x 3 x 5= 2 x 3² x 5. Nosso processo foi dividir o 90 pelos menores primos possíveis até chegar a 1. Note que quando não é mais possível dividir por um primo, passamos a realizar a divisão pelo primo subsequente.

Visto o conceito de múltiplo e divisor, podemos agora definir o mínimo múltiplo comum entre dois números para seu Enem 2013. Vamos fazer isso com um exemplo: ache o mínimo múltiplo comum entre 6 e 9. OU, para simplificar, ache o mmc (6,9). A ordem dos números não importa.

Vamos escrever os múltiplos de 6 e 9:

M(6)={6,12,18,24,30,36,…} um número tem infinitos múltiplos.
M(9)={9,18,27,36,…}

Basta agora selecionar o menor número que é múltiplo em comum com 6 e 9, esse número é o 18. Perceba que o mmc é muito difícil de calcular pela definição. Imagine escrever todos os múltiplos de 25 e 36 e achar qual o menor em comum dessa forma? Por isso, existe o processo da fatoração simultânea. Acompanhe como é o processo para seu Enem 2013.

Ache o mmc(25,36). Para isso, vamos fatorar os números simultaneamente, conforme aprendemos pela aula da Khan Academy.

Enem 2013

 

O que fizemos foi decompor os números ao mesmo tempo. Quando um deles não é divisível por um dos primos da coluna ao lado, ele é copiado na linha seguinte. Portanto mmc(25,36)=2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5= 2²x 3²x 5² = 900.

Entenderam, galera? Vamos então fazer um exercício bacana sobre mmc para seu Enem 2013? Vamos lá!

EXERCÍCIOS:

Um alarme soa a cada 2 horas, um segundo alarme soa a cada 5 horas e um terceiro a cada 3 horas. Soando em determinado instante os três alarmes, depois de quantas horas eles voltarão a soar juntos?

RESPOSTA:

Veja que os alarmes tocaram todos juntos em um certo instante, mas ainda queremos saber depois de quantas horas eles vão soar juntos novamente, qual o instante que isso vai acontecer. Perceba que esse número de horas tem que ser um múltiplo dos 3 períodos (2,3 e 5) ao mesmo tempo, se não fosse eles não iriam tocar todos juntos. Além de ser um múltiplo dos 3, vai ser o mínimo entre esses múltiplos, pois ,se não fosse o mínimo, eles já teriam tocado juntos anteriormente, sacaram galera?

Então nossa resolução se resume a calcular mmc(2,3,5). Mas como calcular o mmc entre três números, professor? Simples, calcule o mmc de dois deles primeiramente e, depois, o mmc do resultado com o número restante.

Logo, mmc(2,3)=6 e mmc(6,5)=30.

Assim, os alarmes vão soar juntos novamente depois de 30 horas.

Enem 2013

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