Logaritmos: definição, propriedades e mudanças de base

Logaritmos são funções matemáticas, com uso de potenciação e exponenciação. Eles são bastante úteis em áreas específicas, como na medição de terremotos.

Antes de você relembrar os cálculos utilizando os logaritmos, vamos ver o que é logaritmo e onde utilizá-lo? A palavra logaritmo originou-se das palavras gregas Logos (razão) e arithmos (números). As questões de ‘log’ são difíceis de acertar, por isso preste bastante atenção nessa aula.

O que é logaritmo?

No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido, principalmente, às operações de multiplicação, divisão e potenciação. Foi então que John Napier, em 1614, Burgi, em 1620, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.

Veja no resumo do professor Sérgio Sarkis, do canal do Curso Enem Gratuito, uma Introdução ao Logaritmo:

Embora as tabelas de logaritmos  criadas no Século XVII por Napier e Burgi não sejam tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas como, por exemplo, na medição de terremotos.retrato dos criadores do logaritmoretrato dos criadores da escala logarítmica. Jost Burgi à esquerda e John Napier à direita.

  • Para que você compreenda melhor o que é logaritmo, considere uma base positiva e diferente de 1. Por exemplo: 34 = 81
  • Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3. Ficou confuso? Vamos escrever isso em linguagem matemática para tentar simplificar:
  • 34 = 81 ⇔ log3 81 = 4
  • Dessa forma, podemos dizer que estamos buscando o número, que sendo expoente de 3, dará o resultado 81. Ou seja: 3x = 81.
  • Função logarítmica

A Função Logaritmica

Uma função logarítmica é definida por uma lei de formação. Ela é denominada uma função logarítmica de base a, onde a é real, positivo e a ≠ 1. Podemos apresentá-la dessa maneira:  f (x) = logax

Ok, agora você entendeu o que é uma função logarítmica. Mas também precisa entender porque a tem que ser diferente de 1. Para você chegar lá vamos retomar o que é logaritmo:

  • O logaritmo de um número é o expoente ao qual devemos elevar uma base a para obter o número x.
  • Assim:  logax = 10 , portanto a10 é = x.
  • Dessa maneira, entendemos que o valor de a não pode ser 1, já que 1 elevado a qualquer expoente sempre será 1.

A Nomenclatura dos logaritmos

Os elementos que compõe um logaritmo tem nome próprio. Vamos ver:

logab = x

onde:

a = base

b = logaritmando

x = logaritmo

Mas, não podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer número em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista!

Além disso, também podemos fazer no logaritmo a mudança de base, técnica que vamos ver mais adiante no final da aula.

As condições de existência dos logaritmos

Essas regras são conhecidas como condições de existência dos logaritmos.

A primeira condição diz que:  b>0

O b – logaritmando – deve ser maior que zero.

Isso porque não existe nenhum número que elevado a outro número, o resultado seja zero ou um número negativo.

Por exemplo:

Quanto vale Log4(-16) = ?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número 4 para obtermos -16. Não há valor para este expoente. Chegamos então a um absurdo.

 

A Segunda condição:  1 ≠ a >0

A base deve ser um número positivo diferente de 1. Sabe por quê? V

amos ver os exemplos de logaritmos:

Quanto vale Log(-4)4?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número -4 para obtermos 4.

Novamente chegamos a um absurdo, uma vez que não há expoente que faça isso.

Como resolver logaritmo?

Ainda olhando para a base:

Calcule Log14.

Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4.

Como sabemos das aulas de potenciação, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, não existe expoente para a base 1 que resulte 4.

Calcule Log04.

Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Ou seja, outro absurdo matemático.

Obs: note que é dito que a base deve ser um número positivo, ou seja, não pode ser zero também!

Exercícios de logaritmo que são sempre iguais

Agora que você já relembrou o que é logaritmo, vamos ver quais são as conseqüências dessa definição?

a)  loga1 = 0 
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a0 = 1.

b) logaa = 1
Quando a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a1= a .

b) logana = n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois an = an.

d) alog a b= b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.

e) logab = logac  b = c

Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.

O que são logaritmos neperianos?

Como vimos, John Napier foi responsável por criar uma das primeiras tabelas logarítmicas. É por isso (seu sobrenome) que o logaritmo natural também é conhecido como logaritmo neperiano.

Esses são cálculos mais avançados, mas é importante saber que o sistema de logaritmos neperianos conta com uma base de número irracional. Essa base irracional é chamada de e. Sendo e = 2,718…

Esse sistema muitas vezes é chamado de sistema de logaritmos naturais.

Propriedades do logaritmo

As propriedades dos logaritmos facilitam as operações que os envolvem. Vamos conhecer todas:

Logaritmos de um produto

Dentro das propriedades dos logaritmos, temos aquela que facilita nossas contas na multiplicação.

Logab.c = logab + logac

Por exemplo:  log5(25.125) = log525 + log5125

Logo temos = 2 + 3 = 5

Logaritmos de um quociente

propriedades dos logaritmos
descrição de como resolver um exercício com logaritmos com quociente.

Exemplo: log2(32÷64) = log232 – log264

Logo temos 5 – 6 = 1

Logaritmos de uma potência

logabn = n . logab

Por exemplo: log5125 = log55³ = 3 . log55 = 3.1

Portanto, temos como resultado o número 3.

Logaritmos de uma raiz

propriedade do logaritmo de uma raiz
exemplo das propriedades dos logaritmos de uma raiz

Para continuar estudando as propriedades dos logaritmos, você pode assistir nossa videoaula:

Ganhando tempo nos exercícios de logaritmo

Sejam a, b, c ϵ R*+ e a, c ≠ 1.

  • O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja, logb1 = 0 porque b0 = 1;
  • O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja, logbb = 1, pois b¹ = b;
  • logbbk = k, porque bk = bk;
  • blogbM = M, ou seja, b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M;
  • loga(b.c) = logab + logac;
  • loga(b÷c) = logab – logac;
  • cologbN = – logbN;
  • logbN = log N ÷ log b;
  • logba . logab = 1.

Logaritmo e mudança de base

Podemos fazer em um logaritmo a mudança de base. Entenda mais no vídeo abaixo:

Veja questões de logaritmo no Enem

Se o seu foco é o Enem, é importante observar como o conteúdo vem caindo nos anos anteriores. Dessa forma, separamos algumas questões de logaritmo do Enem para você praticar:

Questão 01 – (ENEM/2019)

A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = –log10x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).

Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma

a) qualquer valor acima de 10–8.

b) qualquer valor positivo inferior a 10–7.

c) valores maiores que 7 e menores que 8.

d) valores maiores que 70 e menores que 80.

e) valores maiores que 10–8 e menores que 10–7.

Gab: E

Questão 02 – (ENEM/2019)

Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

exercício logaritmos enem 2019

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 3,30 + log(A.f ), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (μm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000μm  e frequência de 0,2 Hz.

Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).

Utilize 0,3 como aproximação para log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como

a) Pequeno.

b) Ligeiro.

c) Moderado.

d) Grande.

e) Extremo.

Gab: C

Questão 03 – (ENEM/2019)

Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:

  • A: carência de 10 meses;
  • B: carência de 15 meses;
  • C: carência de 20 meses;
  • D: carência de 28 meses;
  • E: carência de 40 meses.

O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.

Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano

a) A.

b) B.

c) C.

d) D.

e) E.

Gab: B

Questão 04 – (ENEM/2018)

Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é valor de r em logaritmo, em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é

a) 1,28

b) 2,0

c) 10 9/7

d) 100

e) 109 – 107

Gab: D

Questão 05 – (ENEM/2017)

Nas informações veiculadas nos órgãos de comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz.

Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função M = log (Af) + 3,3. Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a 7,9.

tabela magnitude terremoto em logaritmo

Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se A = 1 000 micrômetros e f = 0,2 hertz.

Use –0,7 como aproximação para log(0,2).

Disponível em: www.mundoeducacao.com.br. Acesso em: 11 jul. 2012 (adaptado).

Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi

a) registrado, mas não percebido pelas pessoas.

b) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.

c) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.

d) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.

e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.

Gab: C

Para se aprofundar mais no conteúdo de logaritmo, indicamos também as aulas de função logarítmica e inequações logarítmicas.

Por fim, é importante entender que logaritmo e exercícios estão intimamente ligados! Você só vai aprender a resolver praticando bastante. Pode ser uma matéria bem confusa, mas muitas pessoas erram e você pode sair na frente do seu concorrente.

Por isso, teste seus conhecimentos nos exercícios de logaritmo abaixo.

Logaritmo exercícios:

(CESGRANRIO)

Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:

a) 0,0209              b) 0,09             c) 0,209                d) 1,09                   e) 1,209

Resposta: B

(UNICESUMAR PR/2019)

O valor de N na equação logarítmica log2N² = 4 é igual à soma das raízes de qual das seguintes equações do 2º grau?

a) x2 – 2x – 3 = 0.

b) x2 + 4x + 3 = 0.

c) x2 + 2x – 3 = 0.

d) x2 – 4x + 3 = 0.

e) x2 – 5x + 4 = 0.

Resposta: D

(IFAL/2019)

Determine o valor do log8 (128).

a) 1/2

b) 1

c) 5/3

d) 2

e) 7/3

Resposta: E