Números complexos: o que são, definição e operações

Os números complexos são úteis para resolver equações do tipo x² + 1 = 0, uma vez que não existe qualquer número real com a propriedade que seu quadrado seja igual a -1.

O que são números complexos

Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma parte imaginária.

Na Matemática, eles surgiram para suprir a necessidade de resolver equações que envolviam a raiz quadrada de números negativos, o que não era possível trabalhando apenas com os números reais.

A solução desse problema foi sugerida pelo matemático italiano Rafael Bombelli. Denominou-se √–1 como unidade imaginária e foi criado o número i, de modo que:

i = √–1

i² = -1

Assim, foi criado o conjunto dos números complexos, representado por C.

Definição de número complexo

O número complexo pode ser definido como um número composto por uma parte real e uma parte imaginária. Todo número complexo z pode ser escrito na forma algébrica, da seguinte maneira:

z = a + bi, com a, b ∈ ℝ e i² = -1.

Além da forma algébrica, eles também podem ser expressos na forma trigonométrica.

Parte real e parte imaginária

Como já vimos, o número complexo possui uma parte real e uma parte imaginária. Isso pode ser facilmente observado quando analisamos a sua forma algébrica:

Dado o número complexo z = a + bi, então a é a parte real de z, denotada por Re(z) e b é a parte imaginária de z, denotada por Im(z). Em resumo:

• a e b são números reais
• a é a parte real, denotada por Re(z)
• b é a parte imaginária, denotada por Im(z)
• i é a unidade imaginária

Número imaginário puro

Quando a parte real de um número complexo é nula, ele é considerado um número imaginário puro. Ou seja, na expressão z = a + bi temos que a = 0. Assim, um número imaginário puro ser representado por z = bi.

Exemplos

• z = 3 + 0i é um número real, pois Re(z) = 3 e Im(z) = 0
• z = 7 + 4i é um número complexo, pois Re(z) = 7 e Im(z) = 4
• z = 0 + 5i é um número imaginário puro, pois Re(z) = 0 e Im(z) = -5
• z = -2 + 0i é um número real, pois Re(z) = -2 e Im(z) = 0
• z = 0 + 0i é um número real, pois Re(z) = 0 e Im(z) = 0

Operações com números complexos

Se os números complexos surgiram para possibilitar a resolução de equações, nada mais lógico que a possibilidade de realizar operações com eles, não é?

Adição de números complexos

Para fazer a adição, fazemos a adição dos termos semelhantes. Ou seja, somamos as partes reais e depois as partes imaginárias de cada número.

Por exemplo, vamos trabalhar com os números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di. A adição dos números complexos z₁ e z₂ vai acontecer da seguinte forma:

z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di)

Por fim, vamos somar as partes reais com as partes reais e as partes imaginárias com as partes imaginárias:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Subtração de números complexos

A subtração é feita seguindo a mesma lógica da adição, ou seja, com a subtração dos termos semelhantes. Assim, subtraem-se as partes reais e depois as partes imaginárias de cada número.

A subtração de números complexos pode ser expressa da seguinte maneira:

z₁ –  z₂ = (a – c) + (b – d)i

Multiplicação de números complexos

A multiplicação é feita multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Vamos novamente demonstrar com os números z₁ = a + bi e z₂ = c + di. A multiplicação de z₁ e  z₂ será feita da seguinte maneira:

z₁ .  z₂ = (a + bi) . (c + di)

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos que:

z₁ .  z₂ = (ac – bd) + (ad + bc)i

Divisão de números complexos

Para aprender a dividir números complexos, é necessário entender o que é o conjugado de um número complexo.

O conjugado é encontrado trocando o sinal da parte imaginária. Assim, o conjugado de z = a + bi será z = a – bi. Como regra, sempre que fizermos a multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

A divisão de números complexos é realizada multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Mais uma vez, vamos trabalhar com os números z₁ = a + bi e z₂ = c + di.

Videoaula

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Exercícios sobre  números complexos

Resolva os exercícios abaixo e teste seus conhecimentos!

Números Complexos