Círculo Trigonométrico: um forte aliado no Enem e vestibulares. Veja!

Aprenda mais sobre Trigonometria aqui no Blog do ENEM com mais de 300 mil exercícios da Khan Academy e o aplicativo Geogebra. Depois dessa aula, você estará pronto para enfrentar o ENEM ou os Vestibulares mais concorridos.

Introdução  ao Círculo Trigonométrico:  Ele consiste em um círculo de raio unitário (igual a um), cujo eixo vertical denomina-se de SENO e o eixo horizontal de COSSENO.

Você entendeu ‘de primeira’, ou teve que parar para pensar? É normal ter que refletir um pouco para recuperar este conteúdo. Se você já estudou Seno, Cosseno e Tangente, então pode compreender o processo para escrever e ler as principais razões trigonométricas de um triângulo retângulo, certo? Vamos lá, então, ao Círculo Trigonométrico.

Mas, se você está em dúvida, ‘volte uma casa’ e clique no link a seguir e faça um novo estudo, veja mais de uma vez os vídeos indicados e refaça os exercícios da plataforma do Khan Academy e do blog do ENEM. Veja aqui uma revisão completa de Seno, Cosseno, e Tangente.seno cosseno destacada

 O Círculo trigonométrico

Ao trabalharmos em trigonometria somente com os ângulos notáveis, estamos restringindo muito o campo de ação desse ramo da Matemática. Sendo assim, é importante termos consciência de que outros ângulos maiores do que 90º possuem seus respectivos valores de SENO, COSSENO e TANGENTE.

círculo trigonométrico
Veja no Círculo Trigonométrico os eixos X e Y

Pensando em uma forma de aglutinar todo esse raciocínio incluindo as relações trigonométricas para ângulos acima de 90° é que foi desenvolvido o círculo trigonométrico. Veja a ilustração acima e observe, antes de ler a definição de Círculo Trigonométrico.

 

Definição do Círculo Trigonométrico:

O Círculo Trigonométrico consiste em um círculo de raio unitário (igual a um), cujo eixo vertical denomina-se de SENO e o eixo horizontal de COSSENO. Para entender melhor esse processo, acesse o applet a seguir desenvolvido através do Geogebra: http://tube.geogebra.org/student/mdaP7mPvF.

Os quadrantes do Círculo Trigonométrico

O interessante do círculo trigonométrico é notar a relação entre os valores de SENO e COSSENO em cada um dos quadrantes. Por exemplo, podemos notar que um ângulo do 1º quadrante terá o mesmo triângulo descrito no 2º quadrante de duas formas:

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Repare que os triângulos POX e ROU são congruentes, assim como os triângulos POX e SOT. Com isso, podemos identificar outras importantes relações trigonométricas:

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Use o applet acima novamente para identificar todas essas relações ao longo do restante do círculo trigonométrico. E aproveite o vídeo a seguir para ampliar mais a sua capacidade de leitura deste importante instrumento para o ENEM ou Vestibulares.

Aprenda a encontrar os lados e ângulos de um triângulo retângulo com a Khan Academy:

Pratique com mais exercícios da Khan Academy sobre trigonometria no triângulo retângulo e fique craque para o ENEM ou Vestibulares: http://goo.gl/Mcjiyk

As relações acima estudadas são importantes quando associamos os valores dos ângulos internos e externos em um triângulo qualquer com seus respectivos senos, cossenos e tangentes. Vale a pena conhecer e conferir!

Veja o App Geogebra

Agora, vamos ampliar um pouco mais a sua capacidade de trabalhar com as razões trigonométricas. Você já chegou a acessar o applet feito com o Geogebra? Lá na versão de estudante, eu lancei dois questionamentos que você poderá conferir aqui abaixo.

O primeiro questionamento tem a intenção de fazer você manipular os controles deslizantes do Geogebra e verificar o que acontecia com o triângulo e todos os valores a ele associados.

Mas em especial, o segundo questionamento tem por objetivo levar você a perceber que para alguns pares específicos de ângulos os valores de senos ficavam iguais. Em especial, dois deles nos ajudarão muito: B = 30° e C = 60°. Veja as figuras abaixo nas duas situações possíveis de construir com o applet:

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Na primeira situação podemos notar que o valor de B = 60° possui aproximadamente a mesma razão do valor de C = 60° da segunda situação. Veja:

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Além disso, podemos notar também que o valor de B = 30° na primeira situação é exatamente igual ao valor de C = 30° na segunda situação. Veja:

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Isso ocorreu, pois os triângulos de cada situação são semelhantes entre si. Lembra-se desse conceito de semelhança?

Dica 1: Revise um pouco antes de continuar aqui no blog do ENEM em https://blogdoenem.com.br/semelhanca-entre-triangulos-matematica-enem/

Ou seja, quando atribuíamos ao ângulo B na primeira situação o valor dele, estávamos ao mesmo tempo descrevendo o seno do ângulo C e, sem você se dar conta, o cosseno do ângulo B. Reveja a tabela da aula anterior de Seno, Cosseno e Tangente aqui no blog do ENEM. https://blogdoenem.com.br/seno-cosseno-tangente-enem-vestibular/

Seno (30º) = Cosseno (60°) = ½

Isso ocorreu, pois os ângulos B = 30° e C = 60° são complementares.

Dica 2: Reveja a aula de Ângulos e suas classificações – Matemática ENEM em https://blogdoenem.com.br/angulos-matematica-enem/.

Agora que você já está habituado a reconhecer os senos e cossenos de ângulos complementares, vamos definir uma fórmula geral para essa situação.

seno(ângulo) = cosseno(90º-Ângulo)

Veja essa vídeo-aula da Khan Academy e fique mais antenado com as razões trigonométricas em um triângulo retângulo:

Confira esta aula na plataforma da Khan: http://goo.gl/c7ZBrs

Veja o App Geogebra aqui: http://tube.geogebra.org/student/mvKiLAW9r

Desafios

1 (VUNESP) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é:

  1. a) 44,7 b) 48,8 c) 54,6            d) 60,0            e) 65,3

Dica: veja o desenho desta situação abaixo

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2 – (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:

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Resolva mais exercícios de Trigonometria com a Khan Academy e vá confiante para a prova do ENEM ou Vestibular:

https://pt.khanacademy.org/math/geometry/right_triangles_topic/cc-geometry-trig/e/applying-right-triangles

 

Gabarito: 1) C ; 2) B

 

Autoria de Davi Rissetti
Este post é resultado da parceria da Fundação Lemann com o Blog do Enem –
www.fundacaolemann.org.br