Conceito de Probabilidade: Estabelecendo possibilidades de ocorrências

Veja esta super revisão de Matemática para o Enem!

Conceito de Probabilidade: Neste post serão contempladas situações que envolvem experimentos aleatórios, cuja teoria probabilística estabelece e estuda as possibilidades de ocorrência.

Faça parte desta aula e seja capaz de responder a perguntas como: qual é a probabilidade de, em uma sala de aula com 30 alunos, pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia?

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Estudando probabilidade

Considere os seguintes experimentos:

– Aquecimento de água contida em uma panela.

– Queda livre de um corpo.

Conhecidas certas condições, podemos prever a temperatura em que a água entrará em ebulição e à velocidade com que o corpo atingirá o solo.

Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, são denominados experimentos determinísticos.

Consideremos também os experimentos:

Lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima.

– Lançamento de um dado e leitura do número voltado para cima.

– Nascimento de uma criança.

– Sorteio de uma carta de baralho.

Mesmo que estes experimentos fossem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não seria possível prever o seu resultado. Estes experimentos são denominados experimentos aleatórios. A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência destes experimentos.

Em nosso cotidiano, é frequente ouvirmos frases como “a probabilidade de chover amanhã é de mais 25%”, “a probabilidade de que ocorram acidentes nas rodovias seria menos se as leis de trânsito fossem respeitadas” ou “a probabilidade de que haja reduções de preço é remota”. Além dessas, existem muitas outras situações em que são utilizados cálculos para determinar as chances de que certo acontecimento ocorra.

Um meteorologista, por exemplo, a partir de algumas informações, pode calcular a probabilidade de que ocorram chuvas em determinada região nas próximas horas. Outra situação é a determinação do valor do seguro de um bem, que é calculado levando em consideração a probabilidade de perda ou avaria desse bem.

A partir dos conteúdos que estudaremos nesta aula, você poderá responder questões como:

  • Qual é a probabilidade de que, no lançamento de um dado sejam obtidos dois pontos?
  • Qual é a probabilidade de que, em uma ninhada de cinco cães, somente dois sejam fêmeas?

Probabilidade

Experimento Aleatório

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

Exemplo:

Da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida hoje” pode resultar:

– que ele ganhe                – que ele perca                – que ele empate

Este resultado final pode ter três possibilidades.

Espaço Amostral

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

No experimento aleatório “lançamento de uma moeda” temos o espaço amostral  {cara, coroa}.

No experimento aleatório “lançamento de um dado” temos o espaço amostral  {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

No experimento aleatório “dois lançamentos sucessivos de uma moeda” temos o espaço amostral :

{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.

Eventos

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Se E = S , E é chamado de evento certo.

Se E 22 S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.

Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.

Conceito de Probabilidade

Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço amostral) o número real P(A) , tal que : número de casos favoráveis de A / número total de casos

OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral tem a mesma chance de acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.

Exemplos:

1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ?

S = { ca, co } = 2            A = {ca} = 1            P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6            A = { 2,4,6 } = 3            P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6            A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6            P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.

4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6            A = {  } = 0            P(A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%

Eventos Complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

 p + q = 1

Obs: Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + … + pn = 1 .

Eventos Independentes

Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?

Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula:

  P(1 n 2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)

P1 = P(4 dado1) = 1/6      P2 = P(3 dado2) = 1/6

P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

  P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)

Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

Os dois eventos são mutuamente exclusivos então:   P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Obs: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B ) para não serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS?

P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) – P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

Probabilidade Condicional

Se  A  e  B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer , depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula:

 P (A e B ) = P (A) x P(B/A)

Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ?

P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %

P(Copas1) = 13/52

P(Copas2/Copas1) = 12/51

Assista a vídeo aula selecionada que apresenta um resumo para o Enem!!!
https://www.youtube.com/watch?v=cbQtq_iJ8_Y

Exercícios

1- (Mack – SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos do número 30, a   probabilidade de que ele seja par, ou primo é?

a) 1/8

b) 3/4

c) 1/2

d) 3/8

e) 7/8

Alternativa b

2-(BNB 2014 – FGV) Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:

a) 2/13

b) 4/13

c) 5/13

d) 6/13

e) 7/13

Alternativa d

3- (2012 – Cesgranrio)  Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?

a)  1/8

b) 1/4

c) 1/3

d) 1/2

e) 3/4

Alternativa b

Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Catarina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher