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para o ENEM

Números Naturais – Revisão de Matemática Enem

Você está se preparando para arrasar no próximo Enem ou vestibular? Então se liga nessa super aula de matemática sobre os Números Naturais! Confira abaixo uma aula completa e uma bateria de exercícios para você fixar bem o conteúdo.

A primeira linguagem numérica que uma criança adquire é a dos Números Naturais.  Veja como isso é importante para toda a Matemática.

Ainda muito pequenas as crianças aprendem a contar. Por exemplo, uma criança aprende o número de chocolates que ganha de presente, e logo sabe a diferença entre ter um, dois ou cinco brinquedos. Na linguagem matemática, simbolizamos esse conjunto de números pela letra 6015.png e definimos:

 6024.png

 Obs: 6032.png. Esse padrão de representação se manterá para os demais conjuntos, isto é, sempre que houver um asterisco sobreescrito, o zero não fará parte do conjunto.

Números Naturais

Números Inteiros

 6044.png

 Obs:

1) 6052.png

2) 6060.png

3) 6072.png (conjunto dos Inteiros não negativos)

4) 6081.png (conjunto dos Inteiros não positivos)

5) 6092.png (conjunto dos Inteiros positivos)

Números Racionais

6101.png

Ou seja, é o conjunto de todos os números que podem ser escritos em forma de fração, com numerador e denominador inteiros, mas com denominador não nulo.

Exemplos:

1) 6190.png

2) 6198.png

3) 6207.png (aqui já fica claro que 6215.png ).

E os números representados na forma decimal?

Representação decimal finita

Número com representação decimal finita é Racional.

Exemplos:

1)6225.png

2) 6234.png

Representação decimal infinita

  • Dízima Periódica é Racional
  • Dízima Não Periódica não é Racional

Dízima Periódica

 Exemplos:

1) 6250.png. A parte periódica é 7

2) 6259.png. A parte periódica é 25.

Para transformarmos dízimas periódicas em frações, vemos primeiro a quantidade de algarismos do período. No exemplo 1 o período era 7. Como tem apenas um algarismo, dividimos por 9, ou seja, 0,777… = 7/9.

No segundo exemplo o período era 25, número com dois algarismos. Neste caso dividimos por 99, isto é, 0,252525… = 25/99.

A justificativa para o uso de 9 ou 99 ou 999 e assim por diante será dada mais tarde, quando tratarmos do tema Progressão Geométrica.

Dízima Não Periódica

A mais famosa delas é o número
6278.png .

Além do Pi, também são dízimas não periódicas os números 6292.png

Como esses números não são Racionais, foi criado um novo conjunto, chamado de:

Números Irracionais

 6303.png

De forma mais palpável, é o conjunto de todos os números cuja representação decimal é infinita e não periódica.

Números Reais

6312.png

Esquematicamente, temos:

números naturais

Exercício Resolvido

(Uff 2010) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891),

“Deus fez os números inteiros,
o resto é trabalho do homem.”

Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:

a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.

d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.

e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

Gabarito: D

Desafios

Questão 1

(Puccamp 2000) Considere os conjuntos:

IN, dos números naturais,

Q, dos números racionais,

Q+, dos números racionais não negativos,

lR, dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de IN.

b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de IN.

c) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

Questão 2

(FGV) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças a seguir:

( ) Todo número inteiro positivo é racional.

( ) O número zero é inteiro, natural e racional.

( ) Todo número racional é inteiro.

( ) Todo número racional exato é racional.

( ) Toda dízima periódica é número racional.

Questão 3

(Enem 2ª aplicação 2010) Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variável – quanto maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo terá vários elementos de segurança. A estreia será entre abril e maio, quando começam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura.  A maior cédula será a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura.

Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00?

a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura.

b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura.

c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura.

d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura.

e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura.

Questão

(Uepg 2010 – adaptado) Assinale V para Verdadeiro ou F para Falso.

( ) O número real representado por 0,5222… é um número racional.

( ) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional.

( ) Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional.

( ) O número real 6362.png pode ser escrito sob a forma 6371.png, onde a e b são inteiros e b6382.png0.

( ) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.

Questão 5 

(Puc-rio 2007) Os números m e n são tais que 4 ≤ m ≤ 8 e 24 ≤ n ≤ 32. O maior valor possível de m/n é:

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/6

d) 1/5

e) 1/8

Texto Complementar: Maior memorização de dígitos do PI. Você sabia dessa? Matheus Norberto de Moraes memorizou 16.110 dígitos em duas horas e 54 minutos, sem nenhuma margem de erro.

números naturais

O recorde foi conquistado na capital paranaense e acompanhado pelos auditores do Livro dos Recordes Brasileiros. Em duas horas e 54 minutos, Matheus Norberto de Moraes memorizou 16.110 dígitos PI sem nenhuma margem de erro. A cada mil dígitos falados, o recordista fazia uma pausa de 50 segundos para um descanso.

O recordista praticou a memorização de dígitos PI durante três meses e contou com a ajuda de amigos no treinamento. Segundo ele, muitos mnemonistas utilizam a técnica de associação de imagens, figuras, cores, etc., aos números, o que auxilia na memorização. “Cada número que você memorizar é associado a uma imagem, o que possibilita a criação de uma ‘história com os números’. Tudo o que mexe com a nossa emoção, nosso cérebro guarda com mais facilidade”.

Matheus conta também que tem grande facilidade para decorar números e que entrar para o RankBrasil foi um desafio e uma grande conquista em sua vida.

O que é o número PI?

O número PI é a constante matemática que representa a relação entre extensão da circunferência de um círculo e seu diâmetro. Por isto, sempre que dividimos a extensão de qualquer circunferência entre seu diâmetro, obtemos como resultado o número PI.

O PI é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416, lembrando que este não é seu valor exato, pois ele continua.

O PI é um dos poucos objetos matemáticos reconhe­cidos pelo grande público e, apesar de ser conhecido há milhares de anos, ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Suas propriedades continuam a ser investigadas e novos métodos para calcular seu valor seguem sendo apresentados.

O PI aparece em todas as fórmulas de linhas ou corpos curvos e nos casos mais inesperados, podendo ser usado em áreas que vão da Estatística à Mecânica Quântica.

São conhecidas quatro constantes que podem ser chamadas de PI:

  • PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro;
  • PI de áreas de círculos: a constante de proporciona­lidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro;
  • PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro;
  • PI de volumes de esferas: a constante de proporciona­lidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro;

Por que é difícil calcular o PI?

A maior dificuldade em calcular o número PI é por se tratar de um número irracional, isto é, que não pode ser expresso como fração entre números inteiros.

Se pudéssemos escrever o PI como fração, na forma m/n, bastaria que definíssemos quais são os números inteiros m e n e, a partir disto, determinar a periodicidade de sua representação decimal.

Existem números irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, mas PI é um irracional imprevisível e sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade. Acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.

 Fonte: www.rankbrasil.com.br
 
Dica 1 – Matemática no Enem: Você daqueles que fica todos nervoso quando o vendedor pergunta se o cálculo do juros foi entendido? Domine as operações e o cálculo de juros em mais esta aula no Blog do Enem.
Dica 2 – Você está preparado para encarar a Redação do Enem? Estude como defender suas ideias num texto argumentativo.
Dica 3 – Química Enem: Reação de Neutralização saiba tudo e muito mais!

Para reforçar seus estudos sobre o Conjunto dos Números Naturais separamos para você esta videoaula do canal Me Salva!Bons Estudos!

Você consegue solucionar os exercícios acima? Então resolva e coloque um comentário no post, logo abaixo, explicando o seu raciocínio e apontando a alternativa correta para cada questão. Quem compartilha a resolução de um exercício ganha em dobro: ensina e aprende ao mesmo tempo. Ensinar é uma das melhores formas de aprender!

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