Matemática Enem – Veja tudo sobre sequências e progressão aritmética

A aula de Matemática Enem de hoje foi elaborada pelo professor Mauricio Policarpo (Matemática – UFSC) do Gauss Pré-vestibular e bolsista da Olimpíada Regional de Matemática de Santa Catarina. Vamos lá com mais essa superaula?

Dica Enem 01: Enem 2013 e a Matemática – É hora de Operações com Frações https://blogdoenem.com.br/enem-2013-operacoes-fracoes/

Preparado para encarar Matemática Enem na prova deste ano? Ou acha que ainda está devendo? Com a aula de hoje, sobre progressão aritmética e sequências numéricas, vamos treinar um pouco mais sobre esse conteúdo, com questões resolvidas, para se dar muito bem no Enem 2013.

Dica Enem 02: Enem 2013 e a Matemática – Múltiplos, divisores e M.M.C. https://blogdoenem.com.br/enem-2013-multiplo-divisores-numero/

Uma sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números que podem ou não estar numa ordem bem definida. Como assim? Veja a sequência dos números primos positivos: (2,3,5,7,11,…). Dizemos que essa sequência é infinita (pois apresenta reticências no final) e que está bem definida (só temos números primos positivos aparecendo).

Dica Enem 03: Enem 2013 e a matemática: aprenda mais sobre regras de divisibilidade https://blogdoenem.com.br/enem-2013-matematica-divisibilidade/

Agora analise a seguinte sequência: (2,4,6,8,10). Quais são as conclusões que você consegue tirar dessa sequência numérica? A análise de problemas como esse é muito importante para mandar bem em Matemática Enem. Conseguiu perceber que a sequência (2,4,6,8,10) é finita? É sim, pois essa sequência tem exatamente cinco termos. Porém, ainda podemos dizer que a sequência (2,4,6,8,10) é uma progressão aritmética ou, simplesmente, PA. Já já saberemos o que é uma progressão aritmética.

Antes de começarmos a falar sobre PA, atente-se a uma importante observação sobre sequências numéricas que pode ajudá-lo em Matemática Enem. É essencial sabermos que duas sequências numéricas são consideradas iguais se, e somente se, elas apresentam os mesmos termos, na mesma ordem e na mesma quantidade. Por exemplo: a sequência numérica (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) é diferente da sequência (0,1,2,3,…), pois a sequência (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) é finita e a sequência (0,1,2,3,…) é infinita.

Então, está compreendendo? Espero que sim, pois o Enem 2013 já está chegando e precisamos nos sentir preparados para enfrentar as questões de Matemática Enem.

Você lembra que a sequência numérica (2,4,6,8,10) é uma PA? Agora, vamos saber o motivo. Nessa sequência, temos que o primeiro termo é 2, ou seja, o elemento de posição 1 é igual a 2 (a1=2). Reparem que o próximo termo (que é 4) é igual ao primeiro termo (que é 2) mais 2. Agora reparem que o terceiro termo (que é 6) é igual ao segundo termo (que é 4) mais 2. E assim por diante. Dizemos que 2 é a razão da PA (2,4,6,8,10), ou simplesmente dizemos que r=2.

Perceba que na sequência (2,4,6,8,10) cada termo é igual ao anterior mais 2, exceto o primeiro termo. Essa é, justamente, a definição de PA que “vamos ter na veia” em Matemática Enem. Cada termo de uma PA é igual ao anterior somada a razão, exceto o primeiro termo que já deve estar determinado (pois não há termo anterior ao primeiro). Certo?

Vamos tirar mais algumas conclusões da PA (2,4,6,8,10) que serão importantíssimas para Matemática Enem. Em uma PA, cada termo tem uma posição. Já sabemos que o primeiro termo é 2 (a1=2), mas os outros termos também têm suas respectivas posições, por exemplo: 6 é o terceiro termo (a3=6) e 10 é o quinto termo (a5=10). De uma forma geral, quando queremos encontrar o termo de posição n (ou seja, quando estamos analisando uma PA com n termos), na realidade estamos dizendo que queremos encontrar o termo an (e nesse caso, o termo an é o último termo da PA analisada).

Agora, já temos todas as ferramentas necessárias para relembrarmos o termo geral de uma PA. Sabendo que a1 é o primeiro termo de uma PA, r é a razão, n é a quantidade de termos da PA analisada e an é o termo da posição n, temos a fórmula do termo geral de uma PA:  an=a1+(n-1)r.  Veja, na videoaula do Professor Nando, a explicação da origem dessa fórmula do termo geral que é muito importante conhecermos e entendermos na Matemática Enem.

Vou dar um exemplo da utilização da fórmula do termo geral de uma PA. Vamos analisar uma outra PA: (-1,-3,-5,-7,…). Sendo o primeiro termo a1=-1, a razão r=-2  e a PA infinita, qual é o termo de posição 9?

A análise dos problemas é muito importante durante toda resolução das questões de Matemática Enem. Nesse caso, podemos simplificar esse exemplo dizendo que queremos encontrar o termo a9. Para isto, utilizamos a fórmula do termo geral da PA, pois  temos a1=-1, r=-2, n=9 e queremos encontrar o valor de a9. Assim, da fórmula do termo geral an=a1+(n-1)r, temos a9=-1+(9-1)(-2)=-1+8(-2)=-1-16=-17. Logo, o termo de posição 9 é igual a -17.

Desde o início desta aula, já vimos conceitos importantes e muito úteis para Matemática Enem. Mesmo assim, ainda é importante sabermos que podemos classificar uma PA de três formas:

– Crescente: quando a razão é maior do que 0 (r>0).

– Decrescente: quando a razão é menor do que 0 (r<0).

– Constante: quando a razão é igual a 0 (r=0).

Temos ainda outra propriedade a ser observada: o dobro de qualquer termo de uma PA, exceto o primeiro e o último(se a PA for finita), é igual a soma dos termos vizinhos a este. Agora, observe a PA (1,4,7,10,…).

Na PA (1,4,7,10,…) vamos analisar essa propriedade olhando para o elemento da terceira posição: o número 7. Segundo a propriedade, o dobro de 7 (que é 14) é igual à soma dos termos vizinhos ao 7 (que são 4 e 10). Logo, temos 14=4+10. Na videoaula do Professor Nando, você também verá uma pouco mais de aplicações dessa propriedade, que também pode aparecer nas questões de Matemática Enem. Então fique ligado!

Para finalizarmos nossa aula de PA da Matemática Enem, vamos relembrar o cálculo da soma de termos de uma PA finita (Sn). Lembrando da fórmula vista no Ensino Médio, temos que a soma dos  n primeiros termos de uma PA é igual a:

Por exemplo, vamos calcular a soma dos termos da PA (0,5,10,15). Sendo n=4, a1=0, a4=15 e r=5, a soma dos termos da PA é:

Vamos ampliar nossos estudos com essa super aula do professor Lucas sobre progressões aritméticas?

Agora que você já sabe tudo sobre sequências numéricas e progressões aritméticas, que tal fazer os exercícios abaixo? Bons estudos!

EXERCÍCIO

Enem 2011 – O número mensal de passageiros de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a) 38000
b) 40500
c) 41000
d) 42000
e) 48000

RESPOSTA

Podemos construir a seguinte PA: (33000, 34500, 36000,…) de razão r=34500-33000=1500 e a1=33000. Onde o primeiro termo representa a quantidade de passagens do mês de janeiro, o segundo termo a quantidade do mês de fevereiro, o terceiro a quantidade de março, a assim por diante. Como queremos encontrar a quantidade de passagens vendidas no mês de julho (mês 7), queremos encontrar qual é o elemento dessa PA que ocupa a posição 7, ou seja, queremos encontrar o a7.

Pela fórmula do termo geral da PA temos:

Resposta: D.