Medidas de dispersão: Estudando a variabilidade dos dados para o Enem!

Nesta aula do Curso Enem Gratuito tire suas principais dúvidas sobre medidas de dispersão, entre elas, amplitude, variância e desvio padrão

As medidas de dispersão medem a variabilidade dos dados em estudo, como por exemplo, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Elas permitem verificar se o conjunto de dados é homogêneo ou heterogêneo. Venha conferir esta aula para garantir sua prova de matemática no Enem!!!

MEDIDAS DE DISPERSÃO (Medidas de variabilidade)

Quando usamos uma “medida de tendência central” como a média, a mediana ou a moda, para caracterizar uma amostra, esquecemos de dizer se existe muita variabilidade dos indivíduos ou não. Por exemplo, saber que o rendimento per capita médio dos EUA (31338$ de 95 em 2000) é igual ao rendimento per capita médio da Islândia (31342$ de 95 em 2000), não nos permite saber se existe uma maior percentagem de pessoas carentes nos EUA do que na Islândia.

No sentido de caracterizar a heterogeneidade da amostra temos que acrescentar à medida de tendência central, uma medida de dispersão, enriquecendo-se assim a descrição da população.

Amplitude

Amplitude total ou máxima é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. Como, por exemplo, nas médias das notas do teste psicotécnico da Tabela 1 em que a amplitude máxima é dada pela diferença entre 75 e 60, ou seja, 05. Logo, as notas do teste variam em 5 unidades.

Mas, para estudar a dispersão dos dados, a amplitude não é um dos melhores meios, pois o cálculo é efetuado apenas com os valores extremos do conjunto. Por exemplo, as idades em anos de um grupo de pessoas, são: 2, 5, 8, 10, 14, 18 e 22.

Um segundo grupo, possui as idades:2, 14, 15, 15, 16,16 e 22.

Nos dois grupos a amplitude máxima é de 20 anos. Porém, a dispersão no primeiro é bem maior do que no segundo. Para medir a dispersão de um grupo de dados, o pesquisador poderá fazer uso do desvio padrão: um procedimento matemático igualmente fácil, mas muito mais elaborado e que contempla todos os valores do conjunto de dados em estudo.

Variância

A variância da amostra é aproximadamente a média das diferenças ao quadrado entre cada uma das observações de um conjunto de dados. Assim, para uma amostra contendo n observações x1, x2, …, xn, a variância da amostra pode ser escrita como

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Dica 1: Você ainda lembra a diferença entre a média aritmética e a média ponderada? Não, então clique aqui e tire mais essa dúvida. Continue sua rotina de estudos para arrasar na Matemática do Enem.

Desvio Padrão

O desvio padrão de uma amostra (representado pela letra S) é definido como sendo a raiz quadrada da variância da amostra.

Ao iniciar as análises de um agrupamento de dados, a média permite que se estabeleça um juízo sobre tal conjunto. Porém, não permite avaliar a dispersão, principalmente para conjunto de dados mais numerosos.

Um dos modos mais simples de se medir a dispersão, é calcular a amplitude total, entretanto, tal amplitude pode se deixar influenciar pelos valores extremos. O desvio padrão foge a essa falha por levar em conta todos os valores em questão. Portanto, o desvio padrão é muito mais conveniente no cálculo da dispersão.

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios (variância):

Desvio padrão populacional

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O desvio padrão populacional ou amostral mede a variabilidade dos dados, com respeito à média. Conjunto de dados com maior dispersão implica em desvios padrões elevados.

A diferença entre o desvio padrão populacional e o desvio padrão amostral, está no significado do conjunto e no denominador da expressão matemática que o determina. Enquanto o desvio padrão amostral é calculado com a média de uma amostra da população. Portanto, expresso a partir de um valor estimado da verdadeira média. O desvio padrão populacional é obtido com a média verdadeira, ou seja, a média da população. Então, o denominador n do desvio estimado, é subtraído de uma unidade como forma de correção, uma vez que essa subtração implica em um aumento de seu valor e, portanto, o uso do desvio padrão amostral tem diminuído a possibilidade de erro quando for usado para verificar a variabilidade dos dados.

Para exemplificar a análise de variabilidade de dados, analisar-se-á 4 amostras de massas de alunos iniciantes em um curso de graduação. Os dados com as estaturas destes alunos, constam abaixo.

Amostras com massas de alunos de graduação

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Em ambas as amostras da tabela acima, a média das massas dos alunos é 63 kg. Entretanto, a dispersão observada não é a mesma. Para a amostra 1, o desvio padrão amostral é de 4,69 kg, a segunda amostra não possui variabilidade, na terceira o desvio padrão é de 14,82 e, para a quarta, este valor sobe para 23,32. Comparando os resultados dos desvios padrões calculados, se observa que, quanto maior for a dispersão dos dados, maior será o valor numérico do desvio padrão. Ressalta-se que o desvio padrão somente tem sentido enquanto informação se for comparado com a média.

O que a Variância e o desvio padrão indicam?

A variância e o desvio padrão medem a dispersão “média” em torno da média aritmética, ou seja, como as observações maiores flutuam acima dela e as observações menores se distribuem abaixo dela.

Dica 2: E como anda seus conhecimentos em Funções? Da Exponencial você lembra direitinho? Não, então clique aqui e revise esta aula para mandar muito bem na prova de matemática do Enem!

Coeficiente de variação

O coeficiente de variação dá uma ideia da precisão de um experimento ou da dispersão de um conjunto de dados. É definido como o quociente entre desvio padrão e a média, multiplicado por 100. Logo, o coeficiente de variação nada mais é do que o desvio padrão em porcentagem da média.

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Os gráficos 1, 2, 3 e 4 indicam a variabilidade dos dados subjetivamente. Entretanto, o gráfico 4 é o que possui maior distanciamento dos dados da amostra, com respeito à média, simbolizada por uma linha pontilhada horizontal.

E aí, está entendo tudo sobre Medidas de dispersão? Se ainda ficou alguma dúvida, confira a aula abaixo para ampliar seus estudos. Até a próxima.


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Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Catarina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher