Os ângulos e cálculos das Circunferências: Matemática Enem

As circunferências possuem características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria.

A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizada na indústria e no seu cotidiano.

Confira tudo sobre circunferêncisa com esta aula e arrase em matemática no Enem! O primeiro passo é você conhecer as definições básicas de Raio, Arco, Corda, Diâmetro, e como os ângulos fazem parte da essência trigonométrica.

Os ângulos na Circunferências

Confira agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito.

Podemos dizer que todo polígono regular pode ser inscrito ou circunscrito a uma circunferência. Isso quer dizer que em todo polígono regular podemos “desenhar” uma circunferência no seu interior e no seu exterior.

Caso a circunferência esteja no interior do polígono, dizemos que a circunferência está inscrita ao polígono ou que o polígono está circunscrito à circunferência.

Por outro lado, caso a circunferência esteja no exterior do polígono, dizemos que a circunferência está circunscrita ao polígono ou que o polígono está inscrito à circunferência.

Nesta aula acima, o professor Lucas vai te introduzir nos cálculos de ângulos da circunferência. E, no resumo abaixo, confira os exemplos com exercícios resolvidos sobre os ângulos nas CIrcunferências:

Exercícios sobre os ângulos na Circunferência:

Elementos das Circunferências

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. Algumas definições

Raio – Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.

Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.

Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.

Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.

Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.

Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.

O Círculo Trigonométrico

Veja agora os macetes para resolver questões sobre Cícrulos e Circunferências nas provas do Enem e dos vestibulares. Veja o fantástico Círculo Trigonométrico.

As dicas do professor Lucas:

1. O círculo trigonométrico, às vezes chamado também de ciclo trigonométrico é uma ferramenta importante no estudo da trigonometria e facilita muito a resolução de exercícios.
2. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio 1. Ou seja, do seu cento até a borda, a medida é 1. Assim, podemos definir todos os valores de seno e cosseno que existem, uma vez que o círculo trigonométrico compreende todos os ângulos.
3. Na trigonometria, seno e cosseno são chamados de razões trigonométricas. Para medir o valor do seno, é comum usar o eixo vertical do círculo trigonométrico. Desta forma, o eixo vertical do ciclo trigonométrico é chamado eixo dos senos.
4. Por outro lado, podemos encontrar o valor do cosseno no eixo horizontal, de maneira que este é chamado de eixo dos cossenos.
5. Um exemplo muito legal de usar o círculo trigonométrico é conhecer também a tabela de ângulos notáveis, que traz os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º.
6. Muitas vezes, o ângulo trabalhado em uma questão é diferente, mas, desenhando-o no círculo trigonométrico, verificamos que ele tem simetria com um dos ângulos notáveis.
7. Desta maneira, já temos as razões trigonométricas, ou seja, o valor do seno, cosseno ou tangente pedido pelo exercício!

 

Comprimento de uma circunferência

Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares não podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida do comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente.

Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a 3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo π. Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente.

Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada pelas circunferências é calculada através da expressão matemática C = 2.π.r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 metros, seu comprimento será calculado da seguinte maneira:

Exercícios sobre Círculos e Circunferências

Exercício – 1 (UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno?

a) 6 h.

b) 9 h.

c) 12 h.

d) 18 h.

e) 20 h.

R: C

Exercício – 2 (USP) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equação da circunferência de centro P e raio OP.

R: (x – 1)² + (y-1)² = 2

Exercício – 3 (Furb – SC) “Lixo é basicamente todo e qualquer resíduo sólido proveniente das atividades humanas ou gerado pela natureza em aglomerados urbanos. O lixo faz parte de nossa vida e tratá-lo bem é uma questão de bom senso, cidadania e bem-estar agora e principalmente no futuro.”(www.loucosporlixo.com.br). Pensando nisso, um grupo teatral quer representar uma peça sobre a importância da reciclagem do lixo. Eles querem montar um cenário no qual 3 paredes de 4 m de altura por 5 m de comprimento deverão ser revestidas de CDs defeituosos. Sabendo-se que cada CD possui 12 cm de diâmetro, quantos Cds, aproximadamente, serão necessários para revestir essas paredes? (Use π = 3,14.)

a) 5200

b) 5300

c) 5400

d) 5500

e) 5600

R: B

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Os textos e exemplos acima sobre as Circunferências foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Catarina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher