Ciclo trigonométrico: relações trigonométricas na circunferência

O ciclo trigonométrico é a representação de uma circunferência num plano cartesiano. Ele auxilia no cálculo de razões trigonométricas como seno e cosseno. Saiba mais!

Os estudos de trigonometria estão associados à figura do triângulo retângulo e ao ciclo trigonométrico. A função do ciclo trigonométrico é estabelecer relações entre ângulos, graus, radianos, senos, cossenos e tangentes de uma circunferência. Entenda o que é o ciclo trigonométrico e como ele pode ser cobrado no Enem e vestibulares.

O que é o ciclo trigonométrico

O círculo ou ciclo trigonométrico é uma circunferência construída sobre o plano cartesiano e que corta os eixos das abcissas e das ordenadas no ponto 1. Dessa maneira, os eixos se cruzam no ponto 0 da reta numérica e formam 4 quadrantes:

Ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico possui diversos pontos que estão associados a valores de ângulos. No caso do ciclo de raio unitário, o intervalo para a localização dos ângulos é [0, 2π[, sendo que π equivale a 180º. Dessa forma, o ciclo trigonométrico possui uma volta completa de 360º. Enquanto isso, um ângulo de 540º corresponde a uma volta inteira mais meia volta.

Ângulos e quadrantes do ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico possui os seguintes referenciais na localização dos ângulos:

Ângulos no ciclo trigonométrico

  • Quadrante I: 0º < x < 90º ou 0 < x < π/2
  • Quadrante II: 90º < x < 180º ou π/2 < x < π
  • Quadrante III: 180º < x < 270º ou π < x < 3π/2
  • Quadrante IV: 270º < x < 360º ou 3π/2 < x < 2π

Além dos quadrantes, ainda temos os ângulos principais:

Ângulos no ciclo trigonométrico

Já em relação aos quadrantes e os eixos x e y, lembre-se da seguinte relação:

Quadrantes do ciclo trigonométrico

Os sinais de mais (+) e de menos (-) indicam o sinal de cada quadrante em relação ao seu respectivo eixo. Perceba que no 1º quadrante temos dois sinais positivos. O primeiro sinal é referente ao eixo x, ou seja, o eixo horizontal. Já o segundo sinal é referente ao eixo y, ou seja, o eixo vertical.

Note que o 1º quadrante está localizado ao lado direito do eixo horizontal, o que significa que está d0 lado positivo. Também está localizado na parte superior do eixo y, que é sua camada positiva. Portanto, o 1º quadrante está localizado positivamente nos eixos x e y do plano cartesiano. É por isso que ele possui dois sinais positivos, um indicando o eixo x e outro o eixo y.

Já o 2º quadrante está localizado na parte negativa do eixo horizontal, pois está à sua esquerda. Mas note que o 2º quadrante está localizado acima do eixo vertical. Por isso ele é positivo.

O 3º quadrante encontra-se à esquerda do eixo x e na parte inferior do eixo y, o que significa que ele é negativo em ambas as posições.

Por fim, o 4º quadrante está à direita do eixo x, logo é positivo. Contudo, está localizado na parte inferior do eixo y, tornando-se negativo nesta localização.

Exemplos

Os cálculos a seguir são efetuados com o objetivo de localizar ângulos nos quadrantes do círculo trigonométrico.

Exemplo 1

Em qual quadrante está localizado o ângulo de 600º?

Resolução: a fim de descobrir a posição do ângulo é necessário dividir 600º por 360º. Em seguida, é necessário verificar o valor correspondente ao resto, pois é ele que indicará o quadrante de localização.

Fazendo o cálculo 600/360 obtemos 1 com resto igual a 240. Portanto, o ângulo de 600º está localizado no 3º quadrante. Lembre-se que o 3º quadrante abrange os ângulos entre 180º e 270º.

Exemplo 2

O ângulo 1540º está localizado em qual quadrante?

Resolução: 1540/360 = 4 e resto igual a 100. Assim, concluímos que 1540º corresponde a 4 voltas completas, estando localizado no ponto equivalente a 100º. Portanto, está localizado no 2º quadrante.

Radianos no ciclo trigonométrico

Além dos graus, existem os radianos no ciclo trigonométrico. Para você entender a equivalência entre graus e radianos, lembre-se que um π radianos corresponde a 180º. Assim:

  1. Uma volta completa equivale a 360º e 2π radianos;
  2. Meia volta equivale a 180º e π radianos;
  3. Um quarto de volta equivale a 90º e π/2 radianos;
  4. Três quartos de volta equivalem a 270º e 3π/2 radianos.

Radianos no círculo trigonométrico

Então, toda vez que você tiver que transformar graus em radianos ou vice-versa, você pode fazer uma destas duas operações:

  • Lembrar que um π radianos corresponde a 180º e fazer uma regra de 3.
  • Construir o ciclo trigonométrico levando em conta a posição dos quadrantes, sentido e congruência.

Seno e cosseno

O seno e o cosseno são algumas das relações trigonométricas que podem ser representadas no ciclo trigonométrico. Esta relação é dada entre os pontos no arco que representam os ângulos e os próprios eixos x e y.

Seno

O seno é a reflexão do ponto no eixo das ordenadas. A fim de entender melhor, imagine que uma lanterna está localizada ao lado do ciclo trigonométrico. A sombra que o ponto da circunferência faz no eixo y é o valor do seno daquele ângulo. Veja no exemplo com o ângulo de 30º:

Seno do ciclo trigonométrico

Você se lembra que no início deste post dissemos que o raio do ciclo trigonométrico é sempre igual a 1? Então observe na imagem que a sombra do ponto que representa o ângulo de 30º atinge o eixo dos senos exatamente na metade. Logo, podemos concluir que o seno de 30º é igual a 1/2.

Cosseno

O mesmo raciocínio é utilizado para obtenção dos cossenos. A diferença é que agora a reflexão do ponto é no eixo x, representando o valor do cosseno naquele ângulo. Assim, é só imaginar que a lanterna está iluminando de cima para baixo:

Cosseno

Agora, somente visualizando a imagem, ficou um pouco mais difícil de estimar qual é o cosseno de 30º refletido no eixo x, não é? Mas com uma observação mais minuciosa é possível perceber um triângulo retângulo e, através dele, calcular os valores do cosseno.

Essa visualização nos leva a um ponto bem importante que é o sinal do cosseno e o sinal do seno em cada um dos quadrantes. Visto que o ciclo trigonométrico é posicionado sobre um plano cartesiano, tanto o sinal do seno quanto do cosseno obedecem ao sinal do eixo no qual estão projetados.

Sendo assim:círculo trigonométrico

Ângulos notáveis

Os ângulos mais utilizados em cálculos costumam ser 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Esses são os chamados ângulos notáveis e possuem os seguintes valores para seno e cosseno:

Seno e cosseno de ângulos notáveis

Videoaula

Confira a aula selecionada para entender melhor os conceitos sobre o ciclo trigonométrico e não esqueça de fazer os exercícios em seguida.


Exercícios sobre ciclo trigonométrico

1- (ENEM/2018)

 A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

Rosa dos ventos

Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber:

1ª mudança: 135º no sentido anti-horário;

2ª mudança: 60º no sentido horário;

3ª mudança: 45º no sentido anti-horário.

Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de um cliente.

Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a câmera?

a) 75º no sentido horário.

b) 105º no sentido anti-horário.

c) 120º no sentido anti-horário.

d) 135º no sentido anti-horário.

e) 165º no sentido horário.

2- (UFRR/2015) 

 Conforme apresentado na figura, a seguir, por meio de um dispositivo, articularam-se dois discos, A (maior) e B (menor). O disco B gira dentro do disco A, e o raio de B é igual à metade da medida do raio de A; a seta coincide com o diâmetro do disco B, e indica um ângulo central.

Exercício sobre ciclo trigonométrico

Os comprimentos dos segmentos determinados pelas interseções da borda do disco B com os eixos perpendiculares do disco A indicam os valores de quais funções trigonométricas?

a) seno e tangente;

b) seno e secante;

c) seno e cosseno;

d) cosseno e secante;

e) cosseno e tangente.

3- (UFJF MG/2015)

 No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas transversais, um engenheiro obteve a seguinte equação sen x = sen3x. Sabendo que x não excede 180º, é CORRETO afirmar que:

a) x = –1

b) x = 0

c) x = 1

d) x = π/2

e) x = 3π/2

Gabarito:

  1. E
  2. C
  3. D