Apótema de polígonos regulares: aprenda o que é e como calcular

Apótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono regular e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Para calcular o valor do apótema de um triângulo, quadrado ou hexágono é preciso circunscrever o polígono a uma circunferência. Veja!

Os cálculos que envolvem polígonos regulares estão presentes no Enem, nos vestibulares e no Encceja. Você já deve conhecer os principais elementos das figuras planas, que são os vértices, arestas, ângulos e diagonais. Mas os polígonos regulares também possuem outro elemento chamado apótema. Nesta aula você vai ver o que é inscrição e circunscrição de polígonos, vai conhecer a definição de apótema e aprender a calcular o seu valor.

Polígonos regulares

Para que você entenda o que é apótema, é preciso saber o que é um polígono regular e também que ele pode ser inscrito ou circunscrito em uma circunferência. Primeiramente, vamos à definição: polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos congruentes. Ou seja: todos os lados tem o mesmo valor e todos os ângulos internos também possuem o mesmo valor. Observe os exemplos:

Polígonos regulares

Polígono regular inscrito e circunscrito

Já vimos que o polígono regular tem os lados iguais e os ângulos também iguais. Em seguida vamos entender o que é inscrição e circunscrição de polígonos.

Polígono inscrito

O polígono inscrito na circunferência é o aquele cujos vértices ficam dentro da circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está circunscrito ao polígono. Por fim, é importante lembrar que as arestas da figura são as cordas da circunferência.4

Polígono circunscrito

Enquanto isso, polígono circunscrito à circunferência é aquele cujos lados são tangentes à circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está inscrita ao polígono.

Polígonos circunscritos

Videoaula sobre polígonos

Veja um resumo simples e rápido com o professor Sérgio Sarkis do canal Curso Enem Gratuito e em seguida confira o conteúdo sobre apótema:

O que é apótema

Apótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Dessa maneira, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono. Veja na figura abaixo que o segmento em verde do hexágono é o apótema do mesmo. Ele se origina a partir do centro do hexágono e termina tocando um de seus lados:

Apótema de um hexágono

Outra possibilidade de definição de apótema é o raio da circunferência inscrita em um polígono. Para que você entenda melhor, pense na circunferência e no seu raio. O raio é a medida do centro da circunferência até um ponto qualquer na mesma. Pois bem, com o apótema podemos pensar quase o mesmo, com a diferença de que ele não é a medida de um ponto qualquer do polígono, mas sim a medida de seu centro até um de seus lados.

Em seguida, você pode ver a figura de um quadrado, de um hexágono e de um triângulo com circunferências inscritas. Observe em seguida que a linha vermelha é tanto o raio da circunferência quanto o apótema dos polígonos.

Apótema de quadrado, hexágono e triângulo

Generalidades dos Polígonos na Geometria Plana:

  • O centro de um polígono regular é o centro da circunferência circunscrita;
  • O apótema de um polígono regular é o raio da circunferência circunscrita;
  • Apótema de um polígono regular é a distância do centro a qualquer lado, desde que forme um ângulo de 90º.Veja o Apótema

Para que serve o apótema

O apótema é muito útil na geometria plana e na geometria espacial. Com ele você pode calcular o raio de uma circunferência inscrita num polígono regular e calcular a distância de um dos lados do polígono até seu centro. Além disso, você pode descobrir a distância entre um ponto médio de uma corda até o centro de sua circunferência.

Como calcular o apótema

Em seguida você pode conferir um resumo com os principais polígonos regulares e suas respectivas fórmulas para calcular o apótema, a área, o perímetro e o raio.

Apótema do triângulo

Triângulo equilátero - apótema

  • Área: A =  (L².√3)/4 ou A = (3.L)/2 . a
  • Perímetro: P = 3.L
  • Altura: h = (L.√3)/2
  • Apótema: a = (L.√3)/6 = R/2
  • Raio da circunferência inscrita: r = (L.√3)/6
  • Raio da circunferência circunscrita: R = (L.√3)/3

Apótema do quadrado

Quadrado - apótema

  • Área: A = L² ou A = 2.L.a
  • Perímetro: P = 4.L
  • Diagonal: D = L.√2
  • Apótema: a = L/2
  • Raio da circunferência inscrita: r = L/2
  • Raio da circunferência circunscrita: R = D/2 = L.√2/2

Apótema do hexágono

Hexágono - apótema

  • Área: A= (6.L².√3)/4 = (3L²√3)/2 ou A = 3 .L.a
  • Perímetro: P = 6.L
  • Apótema: a = (L√3)/2
  • Raio da circunferência inscrita: r = (L√3)/2
  • Raio da circunferência circunscrita: R = L

Videoaula

Para entender melhor o conteúdo de apótema, assista à videoaula a seguir:

https://youtu.be/DzZJx7qG5Mg

Exercícios sobre apótema

1 – (UECE/2016)    

A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10 m circunscrito à mesma circunferência é

a) 3/8.

b) 5/8.

c) 3/7.

d) 5/7.

2 – (UECE/2019)    

Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio é igual a 0,5 m, um quadrado Q circunscrito ao círculo e um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos afirmar corretamente que a medida, em m2, da área da região do plano interior a Q e exterior a q é

a) 0,15π.

b) 0,25π.

c) 0,50.

d) 0,35.

3 – (UNIRG TO/2012)    

Em uma determinada construção o engenheiro responsável dá um problema de cálculo de área de uma estrutura para ser resolvido por seu estagiário. A estrutura é representada na figura a seguir. O problema consiste em determinar o lado do quadrado. Este quadrado está circunscrito por uma circunferência cuja medida da área é 7.500 m2.

Circunferência inscrita a um quadrado

Sabendo-se que os lados do quadrado tangenciam a circunferência, e que o estagiário resolveu corretamente o problema. Então, o valor do lado do quadrado é:

(considere π = 3)

a) 25 m

b) 50 m

c) 75 m

d) 100 m

4- (FRANCO)

O lado do quadrado inscrito numa circunferência mede 4 cm. O lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência mede:

a) 2√3

b) 2√6

c) 3√2

d) 6√2

5- (FRANCO)

O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência cujo apótema mede 3(1/2) cm é:

a) 24 cm

b) 26 cm

c) 28 cm

d) 30 cm

GABARITO: 

  1. A
  2. C
  3. D
  4. B
  5. C

Jaceli Eccher

Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Catarina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher .
Categorias: Enem, Matemática Tags: , , , ,