Operações com intervalos reais – Matemática Enem

Que tal aprender sobre as operações com intervalos numéricos reais? Serão trabalhadas as seguintes operações: União, Intersecção e Diferença. Vem com a gente arrasar em Matemática no Enem!

Tipos de intervalos reais: Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q.

Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos.

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Dica: (Tipos de notação para intervalos) Notação de um intervalo na reta real com “bolinha fechada” – inclusão de termos, “bolinha aberta” – exclusão de termos, que também pode ser verificada através da notação de intervalos ou de conjuntos através dos colchetes (intervalo fechado) e colchetes invertido (intervalo aberto) e a notação algébrica de conjuntos,  como segue abaixo:
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Tipos de notação para intervalos reais

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

Relação entre os conjuntos numéricos:

O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos. Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}

IR+ = conjunto dos números reais não negativos

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

  • Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
  • Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 …

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Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos.

Em diversas situações a resolução de problemas depende de operações com intervalos, como a união, a intersecção e a diferença.

Definição teórica de União, Intersecção e Diferença de Intervalos

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Para fazer estas operações (união, intersecção) devemos:

  • Marcar sobre uma mesma reta, em ordem crescente, todos os números que são extremos dos intervalos;
  • Abaixo da reta traçamos os intervalos que representam os conjuntos, usando “bolinha aberta” para a exclusão do extremo e “bolinha fechada” para a inclusão dos extremos;
  •  Os trechos comuns dos intervalos determinam a intersecção e os trechos que estão em pelo menos um dos intervalos indicam a união.

Vamos ver um exemplo de União de intervalos

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6

33

7

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Solução. Observando os intervalos e seus limites na reta numérica, temos:

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OBS: 1) Na intersecção os extremos são excluídos porque 2 não está em B e 3 não está em A.

          2) Na diferença a extremidade 2 está inclusa porque não pertence ao conjunto B.

Resposta: alternativa a

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A alternativa correta para essa questão é a letra c.

Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Caratina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher