Operações com Intervalos Reais – Matemática Enem

Todo ano caem no Enem questões sobre Conjuntos Numéricos e sobre os Intervalos reais. Aprenda agora a resolver estas operações. Domine o básico sobre União, Intersecção e Diferença. Vem com a gente arrasar em Matemática no Enem!

Tipos de intervalos reais: Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q.

Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. Viu só como dá pra entender bem os Intervalos reais? Se ficar difícil, têm as videoaulas de apoio.

A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos:1

 

  • Dica importante: (Tipos de notação para intervalos)
  • – Notação de um intervalo na reta real com “bolinha fechada” – inclusão de termos;
  • –  “bolinha aberta” – exclusão de termos.
  • Você também pode verificar através da notação de intervalos ou de conjuntos através dos colchetes (intervalo fechado) e colchetes invertido (intervalo aberto) e a notação algébrica de conjuntos.

Veja agora na imagem abaixo:Tipos de notação para intervalos reais

Resumo sobre “Pertence” e “Não Pertence”

Confira agora com o professor Lucas Borguesan um resumo que vai ajudar demais pra você dominar este conteúdo.

As dicas do professor Lucas:

  • Quem nunca se confundiu na hora de fazer operações com conjuntos numéricos, não é mesmo?
  • Muitas vezes, por se tratarem de conjuntos de muitos elementos, alguns alunos podem se atrapalhar na hora de realizar as operações, como a União e a Intersecção.
  • Realmente é preciso bastante atenção para não deixar nenhum elemento do conjunto numérico de lado na hora da operação.
  • Mas, com um pouco de paciência, muito estudo e treinamento, pode aparecer qualquer conjunto numérico que você vai saber direitinho o que fazer com ele.
  • Então, veja no resumo acima, no vídeo, como resolver estas operações e mandar bem no Enem.

 

  • Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês:
  • – E o intervalo vazio, como seria definido?
  • Pense um pouco….

Veja a Relação entre os Conjuntos Numéricos:

  • O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos. Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
  • IR* = IR-{0}
  • IR+ = conjunto dos números reais não negativos
  • IR_ = conjunto dos números reais não positivos

 

Obs: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

  • Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
  • Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 …

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Resumo sobre Conjuntos Numéricos

Confira agora com o professor Lucas Borguesan as dicas básicas sobre Conjuntos Numéricos

Veja as dicas di Professor Lucas:

  1. Sabe aqueles grupinhos característicos que tem em todo ensino médio?
  2. Vamos pensar juntos: toda escola tem aquele grupo que é mais bagunceiro, a galera do fundão, o pessoal mais dedicado e estudioso, a galera mais ligada em rede social, os que tocam algum instrumento…
  3. Enfim, são muitos os grupinhos.
  4. Mas, sabe o que todos esses grupos tem em comum? Os membros de cada grupo têm características parecidas, por isso se identificam!
  5. Aqueles que têm características parecidas formam conjuntos e na matemática nós chamamos de conjuntos numéricos!

 

Intervalos Reais

  • Considere para os Intervalos em R:
  • Nem toda solução de um problema matemático é um número.
  • Muitas vezes essa solução é um conjunto numérico contido em  (conjunto dos reais).

Vamos ver a definição…

Considere dois números reais a b, com a<b

I) Intervalo aberto de extremos a e b

  • É o conjunto ]a,b[ = { x ∈ R / a < x < b }  .
  • Além da representação ]a,b[  também utilizamos (a,b).
  • Geometricamente representamos assim:
  • Intervalos em R – Matemática Enem

Dica – Você notou que nesse intervalo as bolas que o representam são abertas? Sabe o que isso significa? 

Isso significa que os números representados no intervalo por a e b, não fazem parte da solução do problema!  Agora vamos ver um outro caso:

II) Intervalo fechado de extremos e b

  • É o conjunto [a,b] = { x ∈ R / a ≤  x  ≤ b }.
  • Geometricamente representamos
  • Intervalos em R – Matemática Enem

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos.

Em diversas situações a resolução de problemas depende de operações com intervalos, como a união, a intersecção e a diferença.

Dica de Matemática do Blog do Enem:

Veja os 10 Temas de Matemática que mais caem no Enem – Todo ano o Exame Nacional do Ensino Médio traz questões de Regra de Três; Cálculos de Área, de Ângulos, de Lados e de Perímetro em figuras planas, Calculos de Volume e de Aresta em Figuras Geométricas; Equações de 1º Grau e de 2º Grau; e mais cinco temas frequentes.

Veja a lista completa com aulas gratuitas de todos eles. Confira aqui os top 10 da Matemática no EnemO que mais cai de Matemática no Enem

 Veja os Planos de Estudo Completos para o Enem:
O que mais cai no Enem

Os Intervalos reais

Definição teórica de União, Intersecção e Diferença de Intervalos

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Para fazer estas operações (união, intersecção) devemos:

  • Marcar sobre uma mesma reta, em ordem crescente, todos os números que são extremos dos intervalos;
  • Abaixo da reta traçamos os intervalos que representam os conjuntos, usando “bolinha aberta” para a exclusão do extremo e “bolinha fechada” para a inclusão dos extremos;
  •  Os trechos comuns dos intervalos determinam a intersecção e os trechos que estão em pelo menos um dos intervalos indicam a união.

Vamos ver um exemplo de União de intervalos

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Intervalos reais

 

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Propriedades dos Intervalos Reais

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Solução. Observando os intervalos e seus limites na reta numérica, temos:

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OBS: 1) Na intersecção os extremos são excluídos porque 2 não está em B e 3 não está em A.

          2) Na diferença a extremidade 2 está inclusa porque não pertence ao conjunto B.

Resposta: alternativa a

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A alternativa correta para essa questão é a letra c.

Os textos e exemplos acima foram preparados pela professora Jaceli Eccher para o Blog do Enem. Jaceli é formada em Matemática habilitação Licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina com Especialização no ensino de Ciências pelo Instituto Federal de Santa Caratina. Facebook: https://www.facebook.com/Jacelieccher