Operações com Intervalos Reais - Matemática Enem

Que tal aprender sobre as operações com intervalos numéricos reais? Serão trabalhadas as seguintes operações: União, Intersecção e Diferença. Vem com a gente arrasar em Matemática no Enem!

Tipos de intervalos reais: Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q.

Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.

A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos:

Dica importante: (Tipos de notação para intervalos) – Notação de um intervalo na reta real com “bolinha fechada” – inclusão de termos, “bolinha aberta” – exclusão de termos, que também pode ser verificada através da notação de intervalos ou de conjuntos através dos colchetes (intervalo fechado) e colchetes invertido (intervalo aberto) e a notação algébrica de conjuntos, como segue na imagem abaixo:

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês:
– E o intervalo vazio como seria definido?

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Veja a Relação entre os Conjuntos Numéricos:

O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos. Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR₊ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 …

Intervalos em R

Nem toda solução de um problema matemático é um número.
Muitas vezes essa solução é um conjunto numérico contido em (conjunto dos reais).

Vamos ver a definição…

Considere dois números reais a e b, com a<b.

I) Intervalo aberto de extremos a e b

É o conjunto ]a,b[ = { x ∈ R / a < x < b } .
Além da representação ]a,b[ também utilizamos (a,b).
Geometricamente representamos assim:

Dica – Você notou que nesse intervalo as bolas que o representam são abertas? Sabe o que isso significa?

Isso significa que os números representados no intervalo por a e b, não fazem parte da solução do problema! Agora vamos ver um outro caso:

II) Intervalo fechado de extremos a e b

É o conjunto [a,b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }.
Geometricamente representamos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos.

Em diversas situações a resolução de problemas depende de operações com intervalos, como a união, a intersecção e a diferença.

Dica de Matemática do Blog do Enem:

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Definição teórica de União, Intersecção e Diferença de Intervalos

Para fazer estas operações (união, intersecção) devemos:

Marcar sobre uma mesma reta, em ordem crescente, todos os números que são extremos dos intervalos;

Abaixo da reta traçamos os intervalos que representam os conjuntos, usando “bolinha aberta” para a exclusão do extremo e “bolinha fechada” para a inclusão dos extremos;